[논문 리뷰] On Cyclic Solutions to the Min-Max Latency Multi-Robot Patrolling Problem

Peyman Afshani, Mark de Berg외 8명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Optimization and Search Problems인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 거리 공간에서의 최소 최대 지연 다로봇 순찰 문제에 대한 근사 알고리즘을 제시한다. 주로 로봇들이 TSP 순찰을 도는 그룹화된 사이트 집합을 순찰하는 순환 해법에 초점을 맞춘다. 최적의 순환 지연을 근사하는 것은 근사 인자에서 (1+ε)의 손실과 런타임에서 (O(k/ε))^k의 손실만으로 TSP를 근사하는 것으로 환원됨을 보이며, 최적의 순환 해법은 전반적인 최적 해법에 대해 2(1−1/k)-근사임을 보인다. 이는 k=2일 때 최적이며, k≥3일 경우에도 최적일 것으로 추측된다.

ABSTRACT

We consider the following surveillance problem: Given a set $P$ of $n$ sites in a metric space and a set of $k$ robots with the same maximum speed, compute a patrol schedule of minimum latency for the robots. Here a patrol schedule specifies for each robot an infinite sequence of sites to visit (in the given order) and the latency $L$ of a schedule is the maximum latency of any site, where the latency of a site $s$ is the supremum of the lengths of the time intervals between consecutive visits to $s$. When $k=1$ the problem is equivalent to the travelling salesman problem (TSP) and thus it is NP-hard. We have two main results. We consider cyclic solutions in which the set of sites must be partitioned into $\ell$ groups, for some~$\ell \leq k$, and each group is assigned a subset of the robots that move along the travelling salesman tour of the group at equal distance from each other. Our first main result is that approximating the optimal latency of the class of cyclic solutions can be reduced to approximating the optimal travelling salesman tour on some input, with only a $1+\varepsilon$ factor loss in the approximation factor and an $O\left(\left( k/\varepsilon ight)^k ight)$ factor loss in the runtime, for any $\varepsilon >0$. Our second main result shows that an optimal cyclic solution is a $2(1-1/k)$-approximation of the overall optimal solution. Note that for $k=2$ this implies that an optimal cyclic solution is optimal overall. The results have a number of consequences. For the Euclidean version of the problem, for instance, combining our results with known results on Euclidean TSP, yields a PTAS for approximating an optimal cyclic solution, and it yields a $(2(1-1/k)+\varepsilon)$-approximation of the optimal unrestricted solution. If the conjecture mentioned above is true, then our algorithm is actually a PTAS for the general problem in the Euclidean setting.

연구 동기 및 목표

• n개의 사이트에서 동일한 속도를 가진 k대의 로봇을 사용할 때 최대 지연을 최소화하는 데 있어 계산적 과제를 다루는 것.
• 특히 로봇들이 그룹화되어 사이트 클러스터의 TSP 순찰을 수행하는 순환 해법의 최적 해법의 구조를 분석하는 것.
• 순환 해법에 대한 근사 보장을 제공하고, 이를 전반적인 최적 해법과 연관짓는 것.
• 만약 순환 최적성에 대한 추측이 참이라면 유클리드 경우에서 결정 문제의 결정 가능성을 입증하는 것.
• 동일한 추측 하에 유클리드 경우에 대한 다항시간 근사계량계량법(PTAS)을 개발하는 것.

제안 방법

• 최적의 순환 지연을 근사하는 문제를, 근사 인자와 런타임 손실이 통제된 TSP 근사로 환원하는 것.
• 모든 사이트의 최소 스패닝 트리(MST)를 사용하여, 간선 길이가 εL*/k를 초과하는 경우를 기반으로 사이트를 ℓ≤k개의 그룹으로 나누는 후보 분할을 식별하는 것.
• 각 후보 분할에 대해 각 그룹에 대해 γ-근사 TSP 순찰을 계산하고, 로봇을 배정하여 최대 순찰 주기 시간을 최소화하는 것.
• 그리디 로봇 배정 전략을 적용: 최대 지연을 최소화하기 위해, 현재 각 그룹의 tsp(Pi)/ki 비율이 가장 높은 그룹에 로봇을 하나씩 할당하는 것.
• 후보 분할의 수를 제한하기 위해 MST에서 무거운 k(1 + k/ε)개의 간선을 선택하여, 총 (O(k/ε))^k개의 후보 분할로 제한하는 것.
• 이를 바탕으로 알려진 TSP 근사 알고리즘(예: (3/2)-근사 또는 유클리드 공간에서의 PTAS)을 활용하여 종합적인 근사 보장을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 최대 지연 다로봇 순찰 문제에서 항상 최적인 순환 해법이 존재하는가?
• RQ2 최적의 순환 해법 근사화는 근사 인자와 런타임 손실이 제한된 TSP 근사로 환원될 수 있는가?
• RQ3 최적의 순환 해법이 전반적인 최적 해법에 비해 어떤 근사 비율을 가지는가?
• RQ4 만약 순환 해법이 전역적으로 최적임을 추측할 경우, 유클리드 다로봇 순찰 문제에 대한 PTAS를 유도할 수 있는가?
• RQ5 최소 최대 지연 문제의 결정 문제 버전은 유클리드 거리 공간에서 결정 가능한가?

주요 결과

• 최적의 순환 지연 근사화는 임의의 ε>0에 대해 근사 인자에서 (1+ε)의 손실과 런타임에서 (O(k/ε))^k의 손실만으로 TSP 근사로 환원될 수 있다.
• 최적의 순환 해법은 전반적인 최적 해법에 대해 2(1−1/k)-근사이며, 이는 k=2일 때 최적임을 보여주며, 이 경우 이론적으로 최적이다.
• k=2일 경우 최적의 순환 해법은 전역적으로 최적임을 의미하므로, k=2일 경우 문제는 다항시간 내에 해결 가능하다.
• 유클리드 설정에서는 알려진 유클리드 TSP의 PTAS와 결과를 조합함으로써, 제약 조건이 없는 문제에 대해 (2(1−1/k)+ε)-근사가 가능하며, 순환 최적성 추측이 참이라면 PTAS가 유도된다.
• 고려되는 후보 분할의 수는 (O(k/ε))^k로 제한되어 있어, 작은 k와 고정된 ε에 대해 접근 가능하다.
• 이 방법은 임의의 거리 공간에서 (3(1−1/k)+ε)-근사, 고정된 d에 대해 Rd에서 (2(1−1/k)+ε)-근사 성능을 달성하며, 알려진 TSP 근사 알고리즘을 활용한다.