[논문 리뷰] On D-modules related to the b-function and Hamiltonian flow

Thomas Bitoun, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 24.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고립된 특이점을 가진 준동차 다항식에 대해 $\pi$-모듈 $\pi f^{\lambda}/\u03c0 f^{\lambda+1}$ 의 길이를 계산하며, 이 길이가 $1 + \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$ 와 일치함을 보여준다. 여기서 $Y$ 는 해소의 예외적 섬유이다. 이 결과는 $b$-함수의 근과 이러한 모듈의 비영성 사이의 연관성을 밝히며, 준동차 경우에 대해 한 추측을 확인한다. 이는 허지 이론과 해밀턴 흐름의 불변량을 사용하여 도출된다.

ABSTRACT

Let f be a quasi-homogeneous polynomial with an isolated singularity. We compute the length of the D-modules $Df^c/Df^{c+1}$ generated by complex powers of f in terms of the Hodge filtration on the top cohomology of the Milnor fiber. For 1/f we obtain one more than the reduced genus of the singularity. We conjecture that this holds without the quasi-homogeneous assumption. We also deduce that the aforementioned quotient is nonzero when c is a root of the b-function of f (which Saito recently showed fails to hold in the inhomogeneous case). We obtain these results by comparing these D-modules to those defined by Etingof and the second author which represent invariants under Hamiltonian flow.

연구 동기 및 목표

• 준동차 다항식 $f$ 가 고립된 특이점을 가진 경우, $\mathcal{D}$-모듈 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 의 길이를 계산한다.
• 이 길이를 밀너 원판의 상위 코homology 위의 허지 필터링과 연관지킨다.
• $\lambda$ 가 $b$-함수의 근일 때 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$ 임을 증명하며, 사이다의 결과를 확장한다.
• 특이점의 축소된 기하학적 종수 $g_x$ 에 대해 $H^1_f(R)$ 내에서 $1/f$ 에 의해 생성되는 $\mathcal{D}$-부분모듈의 길이가 $1 + g_x$ 임을 증명하는 추측을 확립한다.
• 이러한 $\mathcal{D}$-모듈을 에팅호프-셰들러 구축법에 의해 정의된 해밀턴 흐름의 불변량과 연결한다.

제안 방법

• 밀너 원판의 코homology 위의 허지 필터링을 사용하여 $\mathcal{D}f^{-1}/R \subset H^1_f(R)$ 의 길이를 계산한다.
• 버드이에르 쌍대성과 국소 쌍대성을 적용하여 $H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})$ 와 밀너 원판의 코homology 사이의 관계를 설정한다.
• $\mathcal{D}$-모듈 $\mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1}$ 과 에팅호프 및 셰들러가 정의한 해밀턴 흐름의 불변량 모듈을 비교한다.
• 근처 순환 함자 $\Psi_f(\mathcal{O}_U)$ 와 그 모노드로미 행동을 사용하여 관련된 순서 모듈의 구조를 분석한다.
• 밀너 원판에서 모노드로미의 반단순성을 이용하여 $\ker p \cong \delta^{\dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})}$ 를 보이며, 여기서 $p$ 는 사영 사상이다.
• 버네스타-사토 이론과 $b$-함수의 구조를 적용하여 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$ 가 정확히 $\lambda$ 가 $b$-함수의 근일 때 성립함을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준동차 다항식 $f$ 가 고립된 특이점을 가지는 경우, $H^1_f(R)$ 내에서 $1/f$ 에 의해 생성되는 $\mathcal{D}$-부분모듈의 길이는 얼마인가?
• RQ2 이 길이는 다항식 $f$ 의 밀너 원판의 허지 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$ 는 $\lambda$ 가 $b$-함수의 근일 때이고, 뿐일 때에만 성립하는가? (준동차 경우에 대해)
• RQ4 모듈 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 은 해밀턴 흐름의 불변량으로 해석될 수 있는가?
• RQ5 특이점 $f$ 가 고립된 경우, 길이가 $1 + g_x$ 임을 증명하는 추측은 참인가? 여기서 $g_x = \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$ 이다.

주요 결과

• $f$ 가 고립된 특이점을 가진 준동차 다항식일 때, $\mathcal{D}f^{-1}/R \subset H^1_f(R)$ 의 길이는 $1 + \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$ 와 같다.
• 이 길이는 $g_0$ 와 같으며, 여기서 $g_0$ 는 특이점의 축소된 기하학적 종수로, $Y$ 가 해소의 예외적 섬유일 때 $\dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$ 로 정의된다.
• $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 는 정확히 $\lambda$ 가 $b$-함수의 근일 때 비영이 된다. 이는 준동차 경우에 대해 성립한다.
• $s = -1$ 에서 사영 사상 $p: \mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1} \to \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 의 핵은 $\delta^{\dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})}$ 와 동형이며, 여기서 $X^\circ$ 는 프로젝티브 초곡면 $Y$ 의 구멍 난 원뿔이다.
• 순서 모듈 $\bigoplus_\lambda \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 의 길이는 최소 $1 + \mu$ 이며, 정확히 $1 + \mu + \dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})$ 이다. 여기서 $\mu$ 는 밀너 수이다.
• $\mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1}$ 는 자연스러운 필터링을 가지며, 그 관련된 순서 모듈은 $\bigoplus_\lambda \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 과 동형이며, $s$-행동은 $s = -1$ 에서의 섬유판에서 반단순하다.