[논문 리뷰] On decay and blow-up of solutions for a singular nonlocal viscoelastic problem with a nonlinear source term

Wenjun Liu, Yun Sun외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 18.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 23인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 소스 항과 감쇠를 포함한 특이 비국소 점성탄성 방정식을 잠재력 웰 이론, 수정된 볼록성 방법, 그리고 왜곡된 에너지 기법을 사용하여 연구한다. 초기 에너지의 부호에 관계없이 안정 집합에 속하는 초기 자료에 대해 전역 존재성과 일반적인 감쇠를 확립하고, 불안정 집합에 속하는 초기 자료에 대해 유한 시간 내 폭발을 입증한다. 이는 이전의 감쇠 및 폭발 결과를 더 넓은 조건으로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we consider a singular nonlocal viscoelastic problem with a nonlinear source term and a possible damping term. We proved that if the initial data enter into the stable set, the solution exists globally and decays to zero with a more general rate, and if the initial data enter into the unstable set, the solution with non-positive initial energy as well as positive initial energy blows up in finite time. These are achieved by using the potential well theory, the modified convexity method and the perturbed energy method.

연구 동기 및 목표

• 특이 비국소 점성탄성 방정식에 대한 해의 장기적 행동을 분석한다.
• 해가 전역적으로 존재하고 0으로 감쇠하는 조건을 규명한다.
• 비음성 및 양성 초기 에너지 경우를 모두 고려하여 기존의 감쇠 및 폭발 결과를 확장한다.
• 에너지 기반 방법을 사용하여 안정 집합 내 해의 일반적인 감쇠 속도를 확립한다.
• 불안정 집합 내 해에 대한 폭발 결과를 증명하며, 이는 초기 에너지가 양수인 경우에도 적용된다.

제안 방법

• 잠재력 웰 이론을 적용하여 에너지와 초기 조건에 기반해 초기 자료를 안정 집합과 불안정 집합으로 분류한다.
• 수정된 볼록성 방법을 사용하여 에너지 진동을 지배하는 미분 부등식을 유도한다.
• 왜곡된 에너지 방법을 사용하여 감쇠 및 폭발 역학을 포착하는 함수를 구성한다.
• 이완 함수 $ g $ 에 일반 조건을 부과하며, $ r \in (1, \frac{3}{2}) $ 인 $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $ 를 포함하여 일반적인 감쇠 속도를 허용한다.
• 에너지 함수와 $ u_t^2 $, $ |u|^p $, 및 $ (g \circ u_x) $ 를 포함한 가중 적분을 조합하여 에너지 추정을 유도한다.
• $ \xi(t) $ 를 포함하는 미분 부등식의 통합을 통해 감쇠 및 폭발을 확립하며, 에너지 및 해 노름에 대한 渐近적 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특이 비국소 점성탄성 문제의 해가 전역적으로 존재하고 0으로 감쇠하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 초기 에너지가 음성 또는 양성일 경우에 해가 유한 시간 내에 폭발하는 데 영향을 주는 요소는 무엇인가?
• RQ3 이완 함수 $ g $ 는 해 에너지의 감쇠 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 폭발 결과를 음성 에너지가 아닌 양성 에너지 초기 자료로까지 확장할 수 있는가?
• RQ5 예를 들어 $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $ 와 같은 약한 조건 하에서 어떤 일반적인 감쇠 속도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 이완 함수 $ g $ 에 대해 $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $ 이고 $ r \in (1, \frac{3}{2}) $ 인 조건 하에서, 안정 집합에 속하는 초기 자료를 가진 해는 전역적으로 존재하며 일반적인 감쇠 속도를 가진다.
• 불안정 집합에 속하는 초기 자료에 대해서는 초기 에너지가 음성 또는 양성일지라도 해는 유한 시간 내에 폭발한다.
• 해의 에너지 감쇠 속도를 일반적으로 기술하는 형태의 결과 $ E(t) \leq C(1 + \int_{t_0}^t \xi(s)ds)^{-(r-1)^{-1}} $ 를 확립하였다. 이는 다항 감쇠 및 지수 감쇠를 특수 케이스로 포함한다.
• 핵심 추정식 $ F'(t) \leq -C_7 \xi(t) F^r(t) $ 를 유도하였으며, 이로부터 渐近적 감쇠 경계 $ F(t) \leq C_8(1 + \int_{t_0}^t \xi(s)ds)^{-(r-1)^{-1}} $ 를 도출하였다. 여기서 $ F(t) $ 는 왜곡된 에너지 함수이다.
• 음성 및 양성 초기 에너지 모두에 대해 폭발 결과를 증명하였으며, 이는 이전 연구에서 음성 에너지만을 요구했던 것을 개선한다.
• 비선형 소스 항 $ |u|^{p-2}u $, 감쇠 항 $ au_t $, 그리고 기억 항 $ \int_0^t g(t-s) \frac{1}{x}(x u_x(x,s))_x ds $ 간의 상호작용이 해의 장기적 행동을 결정함을 확인하였다.