[논문 리뷰] On defining functions for unbounded pseudoconvex domains

Tobias Harz, Nikolay Shcherbina외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 09.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 31인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체에서 경계가 매끄러운 엄격한 편평한 볼록 도메인에 대해, 도메인이 유계가 아니거나 환경 다양체가 슈테인이 아니더라도 전역 정의 함수의 존재를 확립한다. 핵심 기여는 '핵심(core)'의 도입으로, 모든 유계 복소다양체 함수가 엄격히 복소다양체 함수가 되지 못하는 점들의 집합을 정의하고, 전역 정의 함수가 이 핵심 외부에서만 엄격히 복소다양체 함수가 되도록 구성할 수 있음을 증명하는 것이다. 핵심은 1-편평한 볼록성(1-pseudoconcave)임이 밝혀지고 일반적으로 해석적 구조를 갖지 못함을 보였다.

ABSTRACT

We show that every strictly pseudoconvex domain $Ω$ with smooth boundary in a complex manifold $\mathcal{M}$ admits a global defining function, i.e., a smooth plurisubharmonic function $φ\colon U o \mathbb R$ defined on an open neighbourhood $U \subset \mathcal{M}$ of $\overlineΩ$ such that $Ω= \{φ< 0\}$, $dφ eq 0$ on $bΩ$ and $φ$ is strictly plurisubharmonic near $bΩ$. We then introduce the notion of the core $\mathfrak{c}(Ω)$ of an arbitrary domain $Ω\subset \mathcal{M}$ as the set of all points where every smooth and bounded from above plurisubharmonic function on $Ω$ fails to be strictly plurisubharmonic. If $Ω$ is not relatively compact in $\mathcal{M}$, then in general $\mathfrak{c}(Ω)$ is nonempty, even in the case when $\mathcal{M}$ is Stein. It is shown that every strictly pseudoconvex domain $Ω\subset \mathcal{M}$ with smooth boundary admits a global defining function that is strictly plurisubharmonic precisely in the complement of $\mathfrak{c}(Ω)$. We then investigate properties of the core. Among other results we prove 1-pseudoconcavity of the core, we show that in general the core does not possess an analytic structure, and we investigate Liouville type properties of the core.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 경계를 가진 복소다양체 내의 어떤 엄격한 편평한 볼록 도메인에 대해서도, 도메인이 비유계이거나 환경 다양체가 슈테인이 아니더라도 전역 정의 함수의 존재를 확립하는 것.
• 모든 유계 복소다양체 함수가 엄격히 복소다양체 함수가 되지 못하는 점들의 집합으로서 도메인의 '핵심'을 정의하고 분석하는 것.
• 핵심 외부에서만 엄격히 복소다양체 함수가 되는 전역 정의 함수가 존재함을 보여, 엄격한 복소다양체 함수 성질에 대한 장애를 특성화하는 것.
• 핵심의 기하학적 및 해석적 성질을 조사하며, 이의 편평한 볼록성, 해석적 구조 부재, 리우빌 유형의 행동을 포함한다.
• 핵심의 구조, 하위도메인에 대한 불변성, 위상적 및 복소다양체적 성질에 대한 열린 질문들을 탐색하는 것.

제안 방법

• 복소다양체 M의 도메인 Ω ⊂ M에 대해, Ω 위에서 정의된 모든 매끄럽고 상한이 있는 복소다양체 함수가 엄격히 복소다양체 함수가 되지 못하는 점들의 집합으로서 도메인의 '핵심'을 정의한다.
• Ω의 클로저 주변에서의 이웃에서 정의된 전역 정의 함수 φ를 구성하여, φ는 U에서 매끄럽고 복소다양체 함수이며, 경계 근처에서는 엄격히 복소다양체 함수이며, Ω에서만 φ < 0임을 보장한다.
• 그래우에르트의 방법을 수정하여 정의 함수를 전역적으로 확장하고, 비상대적으로 컴acts 및 비-슈테인 환경에 적응시킨다.
• 복소다양체 함수와 그 레비 형식의 행동을 분석하여 핵심이 1-편평한 볼록성임을 증명한다.
• 웨이어스트라스 곱과 포아송-지엔센 추정을 통해 구체적인 예를 구성하여, 핵심이 비가산일 수 있으며, 양의 차원 해석적 부분다양체를 포함하지 않으며, 비자명한 다항식 쌓음(hull)을 가질 수 있음을 보인다.
• 핵심에서 유계 복소다양체 함수의 상수성과 성분별 행동을 분석하기 위해 리우빌 유형 정리와 최대원리 적용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 복소다양체 내 엄격한 편평한 볼록 도메인은 핵심 외부에서만 엄격히 복소다양체 함수가 되는 전역 정의 함수를 갖는가?
• RQ2 핵심은 양의 차원 해석적 부분다양체를 포함하지 않으며, 다항식 볼록성 성질을 만족하는가?
• RQ3 핵심이 내부가 비어있지 않거나, 양의 복소다양체 측도를 가지거나, 패딩-비버바흐 도메인을 포함할 수 있는가?
• RQ4 핵심이 하위도메인 ω ⊂ Ω에 포함되어 있을 때, ω의 핵심이 Ω의 핵심과 동일한가?
• RQ5 환경 다양체가 슈테인일 경우, 핵심의 모든 최대 성분은 상대적으로 비유계인가?

주요 결과

• 매끄러운 경계를 가진 복소다양체 내 엄격한 편평한 볼록 도메인은 핵심의 여집합에서만 엄격히 복소다양체 함수가 되는 전역 정의 함수를 갖는다.
• 도메인의 핵심은 항상 1-편평한 볼록성이며, 이는 레비 형식에 대한 특정 곡률 조건을 만족한다.
• 핵심은 일반적으로 해석적 구조를 갖지 않는다: 양의 차원 해석적 부분다양체를 포함하지는 않지만, 일부 경우에서는 비가산이면서 컴팩트일 수 있다.
• 모든 R > 0에 대해, bB^n(0,R) ∩ core(Ω)의 다항식 쌓음은 B^n(0,R) ∩ core(Ω)의 클로저와 일치하며, 이는 강력한 다항식 볼록성 성질을 나타낸다.
• 웨이어스트라스 곱 방법과 포아송-지엔센 추정을 통해, 비가산이면서 컴팩트하고 해석적 집합을 포함하지 않는 핵심을 갖는 도메인이 존재한다.
• 핵심은 특정 연산에 대해 불변이다: 핵심이 하위도메인 ω에 포함되어 있을 경우, ω의 핵심은 Ω의 핵심과 같다. 그러나 이는 일반적으로 참이 아니며 여전히 열린 질문이다.