[논문 리뷰] On deformations of free groups in compact Lie groups

Tsachik Gelander|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 27.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 미분기하학군론과 리군 동역학 분야에서 오랫동안 남아있던 두 가지 추측을 증명한다: 자유군의 비-유한체적 자유 변형이 컴팩트 리군 내에서 조밀하다는 마르게리스와 소이저의 추측, 그리고 n ≥ 3일 때 Out(Fₙ)-행동이 Hom(Fₙ, G)/G 공간에서 에르고딕하다는 골드먼의 추측. 니엘슨 변환과 고유 표현의 성질을 이용하여, 컴팩트 리군 내의 임의의 n-튜플이 어떤 조밀한 (n−1)-생성 부분군을 생성하도록 임의로 약간 변형시킬 수 있음을 보여, 비-유한체적 이미지의 일반성과 외부 자기동형군 행동의 에르고딕성을 확립한다.

ABSTRACT

We study some properties of the varieties of deformations of free groups in compact Lie groups. In particular we prove a conjecture of Margulis and Soifer about the density of non-virtually free points in such variety, and a conjecture of Goldman on the ergodicity of the action of Aut(Fn) on such variety when n>2.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 리군 내에서 자유군을 생성하는 n-튜플의 다양체에서 비-유한체적 자유 변형이 조밀하다는 마르게리스와 소이저의 추측을 해결하는 것.
• n ≥ 3일 때, 컴팩트 리군 G로의 Fₙ에서의 호모모르피즘 공간 Hom(Fₙ, G)을 내부자기동형군으로 나눈 공간에서 Out(Fₙ)-행동의 에르고딕성을 증명하는 것.
• 연결된 컴팩트 리군 내의 임의의 n-튜플이 주어진 조밀한 (n−1)-생성 부분군을 생성하도록, 최소 생성집합에 대한 약한 조건 하에 임의로 약간 변형시킬 수 있음을 증명하는 것.
• n = 2의 경우를 확장하여, 컴팩트 비아벨리안 리군 내의 임의의 쌍이 Serre의 성질 (FA)를 가진 군을 생성하도록 변형시킬 수 있음을 보여, 이는 유한체적 자유군이 아님을 의미한다.

제안 방법

• Gⁿ 내의 n-튜플을 임의의 Gⁿ의 열린 부분집합으로 옮기는 데 니엘슨 변환을 사용하여, 변형된 튜플이 생성하는 군에 대한 제어를 가능하게 한다.
• 자리스키 위상과 버너사이드의 보조정리를 적용하여, 고유 표현을 통해 전체 리대수를 생성하는 원소들의 집합이 자리스키 열린 집합이자 조밀하다는 것을 보인다.
• 공역이 G인 코어리어클래스 C(a) × C(b) → G의 곱 함수를 적용하고, a와 b의 중심화자들이 자명하게 만날 조건 하에 미분이 전사임을 보이며, 카일링 형식과 고유 표현 성질을 이용한다.
• 음함수정리(implicit function theorem)를 적용하여, a와 b가 정규적이고 일반적인 위치에 있을 경우 곱 함수가 (a,b) 근처에서 열려 있음을 유도함으로써, 코어리어클래스 위에서 곱 함수의 국소 전사성을 확보한다.
• 컴팩트 리군 내의 토르션 원소가 조밀하게 분포되어 있음을 이용하여, 조밀성을 유지하면서도 곱이 토르션임을 보장하는 코어리어클래스 내의 변형을 구성한다.
• 반단순 리군이 단순 성분들의 거의 직접곱으로 표현된다는 점을 활용하고, 각 성분으로의 사영을 분석하여 생성된 부분군의 조밀성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결된 컴팩트 비아벨리안 리군 내의 임의의 n-튜플은 마르게리스와 소이저의 추측에 따르면 비-유한체적 자유군을 생성하도록 변형시킬 수 있는가?
• RQ2 n ≥ 3일 때, Hom(Fₙ, G)/G 공간에서 Out(Fₙ)의 행동은 골드먼의 추측에 따라 에르고딕한가?
• RQ3 n ≥ 3일 때, 이미지가 고정된 조밀한 (n−1)-생성 부분군 Γ인 Fₙ에서 G로의 호모모르피즘들의 집합은 전체 Hom(Fₙ, G) 공간에서 조밀한가?
• RQ4 임의의 쌍이 컴팩트 리군 내에서 Serre의 성질 (FA)를 가진 군을 생성하도록 변형시킬 수 있는가? 이는 그것이 유한체적 자유군이 아니라는 것을 의미한다.
• RQ5 고유 표현에 의해 전체 리대수를 생성하는 원소들의 집합이 자리스키 열린 집합이자 조밀한 집합이 되기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 조밀한 (n−1)-생성 부분군 Γ ≤ G와 n ≥ 3에 대해, Hom(Fₙ, G) 내에서 f(Fₙ) = Γ를 만족하는 호모모르피즘 f의 집합은 조밀하다.
• n ≥ 3일 때, 연결된 컴팩트 리군 내의 임의의 n-튜플은 주어진 조밀한 (n−1)-생성 부분군 Γ를 생성하도록 임의로 약간 변형시킬 수 있으며, 이는 Γ가 (n−1)-생성임을 전제로 한다.
• n ≥ 3일 때, Out(Fₙ)의 Hom(Fₙ, G)/G 공간에서의 행동은 에르고딕하다. 이는 골드먼의 추측을 확인한 것이다.
• n = 2일 때, 컴팩트 비아벨리안 리군 내의 임의의 쌍은 Serre의 성질 (FA)를 가진 군을 생성하도록 변형시킬 수 있으며, 이는 그것이 유한체적 자유군이 아니라는 것을 의미한다.
• a와 b가 정규적 원소이고 중심화자들이 자명하게 만날 경우, 곱 함수 C(a) × C(b) → G는 (a,b) 근처에서 열려 있으며, 이는 코어리어클래스 위에서 곱 함수의 국소 전사성을 보장한다.
• n ≥ 3일 때, Gⁿ 내에서 조밀한 부분군을 생성하는 n-튜플의 집합은 열려 있고 조밀하며, G가 단순군일 경우 쌍에 대해서도 동일한 성질이 성립한다.