[논문 리뷰] On Delannoy numbers and Schröder numbers

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 13.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 2인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 중심 딜라노이 수 $D_n$ 와 그 일반화된 형태인 $D_n(x)$ 에 대해 새로운 $p$-진 합동식을 수립하며, 이를 통해 오일러 수, 페르마 몫, 루카스 수열을 소수 모듈로와 연결한다. $D_k/k$ 와 $D_k/k^2$ 의 합이 소수 모듈로에서 $q_p(2)$ 와 $E_{p-3}$ 와 관련됨을 증명하고, $p$-진 전개를 통해 $( -1 \pm \sqrt{-x} )^p$ 를 통한 $D_n(x)$ 로의 확장이 이루어져, 격자 경로 수와 수론적 함수 사이의 깊은 산술적 연결 고리가 드러난다.

ABSTRACT

The n-th Delannoy number and the n-th Schröder number given by $D_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}$ and $S_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}/(k+1)$ respectively arise naturally from enumerative combinatorics. Let p be an odd prime. We mainly show that $$\sum_{k=1}^{p-1}D_k/k^2=2(-1/p)E_{p-3} (mod p)$$ and $$\sum_{k=1}^{p-1}S_k/m^k=(m^2-6m+1)/(2m)*(1-((m^2-6m+1)/p) (mod p),$$ where (-) is the Legendre symbol, E_0,E_1,E_2,... are Euler numbers and m is any integer not divisible by p. We also conjecture that $\sum_{k=1}^{p-1}D_k^2/k^2=-2q_p(2)^2 (mod p)$, where $q_p(2)=(2^{p-1}-1)/p$.

연구 동기 및 목표

• 중앙 딜라노이 수 $D_n$ 와 그 일반화된 형태인 $D_n(x)$ 에 대해 새로운 $p$-진 합동식을 유도하여 고전적인 수론적 함수와 연결한다.
• 소수 $p$ 모듈로에서 $D_k/k$ 와 $D_k/k^2$ 를 포함하는 합의 산술적 구조를 조사하며, 특히 페르마 몫 $q_p(2)$ 와 오일러 수 $E_{p-3}$ 와의 관계를 밝힌다.
• 일반화된 딜라노이 다항식 $D_n(x)$ 에 대해 $p$-진 정수 $x$ 에 대해 이러한 결과를 확장하여, 이항 및 하이퍼기하급수의 $p$-진 전개를 통한 대수적 구조를 드러낸다.
• 특히 이차형식과의 관련성을 통해 딜라노이 수와 펠, 피보나치, 루카스 수열 간의 합동식을 소수 및 $p^2$ 모듈로에서 탐구한다.

제안 방법

• 주요 항등식을 유도한다: $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k} \equiv \frac{(-1 + \sqrt{-x})^p + (-1 - \sqrt{-x})^p + 2}{p} \pmod{p}$, $p$-진 정수 $x$ 에 대해 생성함수 변환과 $p$-진 전개를 사용한다.
• 특히 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{1}{k} \equiv -q_p(2) \pmod{p}$ 와 같은 조화합 및 이항계수에 대한 알려진 합동식을 적용하여 $D_k/k$ 에 대한 합을 기존의 $p$-진 표현식으로 간소화한다.
• 이항계수 항등식과 $p$-진 역수를 통한 유도로, $s=1,2$ 에 대해 $\sum_{k=1}^{(p-1)/2} \frac{(-1)^k}{k^s} \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k^s} \pmod{p}$ 라는 항등식을 활용한다.
• 대칭성 기반의 단순화를 가능하게 하는 $(-1)^n D_n(x) = D_n(-x-1)$ 의 대칭성을 활용하여, 부호가 교차하는 합을 다른 매개변수화와 연결한다.
• 루카스 수열 $\{P_n\}$, $\{F_n\}$, $\{L_n\}$ 을 사용하여 $D_k(-2)$, $D_k(-5)$, $D_k(-4)$ 와 관련된 합동식을 표현하며, 이를 $p$-진 순서와 계수 수형식과 연결한다.
• 레마를 통한 카탈란 수 $C_k$ 의 성질을 활용하여 슈뢰딩거 수 $S_k$ 에 대한 정리 1.2 를 증명한다. 이로써 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{m^k} \equiv \frac{m^2 - 6m + 1}{2m} \left(1 - \left(\frac{m^2 - 6m + 1}{p}\right)\right) \pmod{p}$ 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형태 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k^2}$ 와 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k}$ 의 소수 모듈로에서의 행동은 어떻게 되며, 어떤 수론적 함수와 관련이 있는가?
• RQ2 일반화된 딜라노이 수 $D_n(x)$ 는 $(-1 \pm \sqrt{-x})^p$ 와 관련된 $p$-진 합동식을 도출하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 $D_k(-2)$, $D_k(-5)$ 와 펠 수열 및 피보나치 수열 간의 소수 모듈로에서의 관계는 무엇인가?
• RQ4 슈뢰딩거 수 $S_k$ 가 합 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{m^k}$ 에서 소수 모듈로에서 어떻게 행동하는가? 그리고 레지처 표기 $\left(\frac{m^2 - 6m + 1}{p}\right)$ 는 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 딜라노이 수와 이차형식, 예를 들어 $p = x^2 + 3y^2$ 또는 $p = x^2 + 15y^2$ 와의 깊은 산술적 연결 고리는 무엇이며, 이는 소수 제곱 모듈로에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 모든 홀수 소수 $p$ 에 대해 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k^2} \equiv 2\left(\frac{-1}{p}\right) E_{p-3} \pmod{p}$ 가 성립하며, 이는 딜라노이 수와 오일러 수 사이의 연결 고리를 보여준다.
• $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k}{k} \equiv -q_p(2) \pmod{p}$ 가 성립하며, 여기서 $q_p(2) = (2^{p-1} - 1)/p$ 이다. 이는 페르마 몫과의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 일반화된 딜라노이 다항식에 대해 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(x)}{k} \equiv \frac{(-1 + \sqrt{-x})^p + (-1 - \sqrt{-x})^p + 2}{p} \pmod{p}$ 가 성립하며, 임의의 $p$-진 정수 $x$ 에 대해 유효하다. 이는 강력한 생성함수 합동식을 제공한다.
• 보조정리 1.1 에서 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(-4)}{k} \equiv \frac{3 - 3^p}{p} \pmod{p}$ 와 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{D_k(-2)}{k} \equiv -\frac{4}{p} P_{p - (\frac{2}{p})} \pmod{p}$ 를 도출하며, 이는 펠 수열과 연결된다.
• 슈뢰딩거 수에 대해 $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{m^k} \equiv \frac{m^2 - 6m + 1}{2m} \left(1 - \left(\frac{m^2 - 6m + 1}{p}\right)\right) \pmod{p}$ 이며, $m=6$ 이고 $p > 3$ 일 경우 특별히 0으로 수렴하는 경우가 있다. 즉, $\sum_{k=1}^{p-1} \frac{S_k}{6^k} \equiv 0 \pmod{p}$ 이다.
• 추측 1.2 는 $\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k D_k(x)^3$ 이 $p^2$ 모듈로에서 깊은 합동식을 가짐을 제안하며, 이는 $p$ 를 $x^2 + 3y^2$, $x^2 + 6y^2$, 또는 $x^2 + 15y^2$ 의 형태로 표현하는 것과 연결된다. 이는 $p \mod 3$, $24$, 또는 $15$ 에 따라 달라진다.