[논문 리뷰] On densely complete metric spaces and extensions of uniformly continuous functions in $\mathbf{ZF}$

Kyriakos Keremedis, Eliza Wajch|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 25.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서 가 countable 선택 공리(CAC)가 다음과 같은 메트릭 공간의 기본 성질들과 동치임을 증명한다: 조밀하게 완비된 메트릭 공간은 완비이며, 조밀한 부분공간에서의 균일연속 함수는 전체 공간으로 연속적으로 연장 가능하며, 완비인 부분공간은 닫혀 있다. 또한 이러한 결과들을 실수선으로 제한할 경우 CAC(R)과 동치임을 보이며, 실수값 함수에 대한 연장 성질은 CAC보다 엄밀히 약한 성질이며, 이는 R이 순서형임을 의미한다.

ABSTRACT

A metric space $\mathbf{X}$ is called densely complete if there exists a dense set $D$ in $\mathbf{X}$ such that every Cauchy sequence of points of $D $ converges in $\mathbf{X}$. One of the main aims of this work is to prove that the countable axiom of choice, $\mathbf{CAC}$ for abbreviation, is equivalent with the following statements:\smallskip (i) Every densely complete (connected) metric space $\mathbf{X}$ is complete.\smallskip\ (ii) For every pair of metric spaces $\mathbf{X}$ and $\mathbf{Y}$, if $% \mathbf{Y}$ is complete and $\mathbf{S}$ is a dense subspace of $\mathbf{X}$% , while $f:\mathbf{S} ightarrow \mathbf{Y}$ is a uniformly continuous function, then there exists a uniformly continuous extension $F:\mathbf{X} o% \mathbf{Y}$ of $f$.\smallskip (iii) Complete subspaces of metric spaces have complete closures.\smallskip (iv) Complete subspaces of metric spaces are closed.\smallskip It is also shown that the restriction of (i) to subsets of the real line is equivalent to the restriction $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ of $\mathbf{CAC}$ to subsets of $\mathbb{R}$. However, the restriction of (ii) to subsets of $% \mathbb{R}$ is strictly weaker than $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ because it is equivalent with the statement that $\mathbb{R}$ is sequential. Moreover, among other relevant results, it is proved that, for every positive integer $% n$, the space $\mathbb{R}^n$ is sequential if and only if $\mathbb{R}$ is sequential. It is also shown that $\mathbb{R} imes\mathbb{Q}$ is not densely complete if and only if $\mathbf{CAC}(\mathbb{R})$ holds.

연구 동기 및 목표

• 조밀하게 완비된 메트릭 공간의 논리적 강도와 ZF 집합론에서 균일연속 함수를 연장하는 데서의 역할을 조사한다.
• 조밀한 부분공간에서 전체 공간으로의 균일연속 함수 연장에 필요한 정확한 집합론적 공리를 규명한다.
• 약한 선택 공리 원칙 하에서 완비성, 닫힘성, 순서형성 간의 관계를 명확히 한다.
• 함수 연장 정리의 맥락에서 CAC(R)와 R의 순서형성 간의 차이를 검토한다.
• R×Q와 같은 공간의 위상수학적 및 집합론적 성질과 그들이 완비성 및 선택 공리에 미치는 영향을 탐구한다.

제안 방법

• 조밀한 부분집합 D에서 모든 코시 수열이 공간 내에서 수렴하는 조건을 만족하는 '조밀하게 완비된' 메트릭 공간의 개념을 도입한다.
• 완전한 선택 공리를 가정하지 않은 상황에서 순서형 닫힘과 순서형 연속성을 이용해 위상적 성질을 분석한다.
• 가 계량 선택 공리(CAC)와 그 실수선에 국한된 형태인 CAC(R)를 적용하여 완비성과 함수 연장 성질 간의 등가성을 증명한다.
• 이deals에 대한 베르 성질(BPI)을 CAC(R)와 결합하여 선택 함수를 구성하고, 컴팩트 메트릭 공간에서의 함수 연장을 증명한다.
• R^n과 R×Q의 구조를 분석하여 독립성 결과를 도출한다: R×Q는 조밀하게 완비되지 않음과 동시에 CAC(R)가 성립함이 동치이다.
• 메트릭 곱 구조와 균일연속성을 활용하여 조밀한 부분공간에서의 함수 연장 정의 및 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가 계량 선택 공리(CAC)는 모든 조밀하게 완비된 메트릭 공간이 완비임을 보장하는 것과 동치인가?
• RQ2 조밀한 부분공간에서 전체 공간으로의 균일연속 함수 연장이 ZF에서 CAC를 함의하는가?
• RQ3 R의 순서형성은 R의 조밀한 부분집합에서의 균일연속 함수 연장과 동치인가? 이는 CAC(R)와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 ZF에서 메트릭 공간의 완비인 부분공간은 반드시 닫혀 있는가? 이를 보장하기 위해 필요한 공리적 강도는 무엇인가?
• RQ5 ZF에서 R×Q의 조밀한 완비성과 CAC(R)의 성립 여부 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• ZF에서 CAC는 모든 조밀하게 완비된 메트릭 공간이 완비임을 보장하는 것과 동치이다.
• 조밀한 부분공간에서 전체 공간으로의 균일연속 함수 연장은 ZF에서 CAC와 동치이다.
• 메트릭 공간에서 완비인 부분공간의 닫힘은 CAC가 성립할 때에만 완비가 된다.
• 메트릭 공간의 완비인 부분공간은 CAC가 성립할 때에만 닫혀 있다.
• R의 순서형성은 R의 조밀한 부분집합에서의 균일연속 함수 연장과 동치이지만, 이는 CAC(R)보다 엄밀히 약한 조건이다.
• R×Q는 CAC(R)가 성립할 때에만 조밀하게 완비되지 않으며, 이는 그 완비성 성질에 대한 정확한 집합론적 특성화를 제공한다.