[논문 리뷰] On dependence of the implied volatility on returns for stochastic volatility models

Mikhail Martynov, Olga Rozanova|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 스토하스틱 볼라티리티 모형, 특히 헤스턴 모형에서 주가 수익률이 고정된 조건에서 분산의 조건부 기대값을 분석함으로써, 음의 변동성의 주가 수익률에 대한 의존성을 조사한다. 이 조건부 기대값은 평균 수익률 근처에서 아래로 볼록한 성질을 가지며, 정규 분포 수익률 하에서는 효과가 강하게 나타나지만, 수익률 분포 꼬리가 두꺼워질수록 효과가 약화됨을 발견한다.

ABSTRACT

We study the dependence of volatility on the stock price in the stochastic volatility framework on the example of the Heston model. To be more specific, we consider the conditional expectation of variance (square of volatility) under fixed stock price return as a function of the return and time. The behavior of this function depends on the initial stock price return distribution density. In particular, we show that the graph of the conditional expectation of variance is convex downwards near the mean value of the stock price return. For the Gaussian distribution this effect is strong, but it weakens and becomes negligible as the decay of distribution at infinity slows down.

연구 동기 및 목표

• 스토하스틱 볼라티티 프레임워크 내에서 임의의 변동성이 주가 수익률에 어떻게 의존하는지 조사하기 위해.
• 고정된 주가 수익률 조건에서 분산(볼라티리티 제곱)의 조건부 기대값을 모델링하기 위해.
• 수익률 분포 꼬리의 형태가 조건부 분산 함수의 곡률에 어떻게 영향을 미치는지 탐구하기 위해.
• 조건부 분산 함수의 볼록성이 유의미하거나 무시할 만큼 미미해지는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 연구는 분석의 기초로 헤스턴 스토하스틱 볼라티티 모형을 사용한다.
• 모형의 역학을 활용하여 고정된 주가 수익률 조건에서 분산의 조건부 기대값을 계산한다.
• 이 조건부 기대값의 함수 형태를 수익률과 시간의 함수로 집중적으로 분석한다.
• 초기 수익률 분포의 밀도를 명시적으로 모델링하며, 정규분포와 꼬리가 두꺼운 분포에 특히 주목한다.
• 평균 수익률 근처에서 조건부 분산 함수의 곡률을 분석하여 볼록성의 정도를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤스턴 모형에서 주가 수익률이 고정된 조건에서 분산의 조건부 기대값은 어떻게 변하는가?
• RQ2 평균 수익률 근처에서 조건부 분산 함수의 형태는 어떠한가? 그리고 아래로 볼록한가?
• RQ3 초기 수익률 분포의 꼬리 행동은 조건부 분산 함수의 볼록성 강도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 어떤 분포 가정 하에서 임의의 변동성이 수익률에 대한 의존성이 무시할 만큼 미미해지는가?

주요 결과

• 헤스턴 모형에서 평균 주가 수익률 근처에서 분산의 조건부 기대값은 아래로 볼록하다.
• 수익률 분포가 정규분포일 경우 볼록성 효과가 강하게 나타나, 임의의 변동성이 수익률에 의존하는 경향이 뚜렷하다.
• 수익률 분포의 무한대에서의 감쇠 속도가 느려질수록(즉, 꼬리가 두꺼워질수록) 볼록성 효과가 크게 약화된다.
• 꼬리가 두꺼운 분포에서는 모형의 구조가 그대로여도 임의의 변동성이 수익률에 대한 의존성이 무시할 만큼 미미해진다.