[논문 리뷰] On Derivation of Compressible Fluid Systems on an Evolving Surface

Hajime Koba|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 19.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 에너지적 변분 원리와 열역학 법칙을 사용하여 변화하는 표면 위에서 압축성 유체 방정식의 종합적인 체계를 유도한다. 린만 기하학과 유동 맵을 통해 점성, 압력 일, 표면 진화를 포함하여 운동량, 에너지, 이탈 방정식을 제1원리에서 유도함으로써 부소니크-스리븐 표면 응력 텐서의 수학적 타당성을 확립한다.

ABSTRACT

We consider the governing equations for the motion of compressible fluid on an evolving surface from both energetic and thermodynamic points of view. We employ our energetic variational approaches to derive the momentum equation of our compressible fluid systems on the evolving surface. Applying the first law of thermodynamics and the Gibbs equation, we investigate the internal energy, enthalpy, entropy, and free energy of the fluid on the evolving surface. We also study conservative forms and conservation laws of our compressible fluid systems on the evolving surface. Moreover, we derive the generalized heat and diffusion systems on an evolving surface from an energetic point of view. This paper gives a mathematical validity of the surface stress tensor determined by the Boussinesq-Scriven law. Using a flow map on an evolving surface and applying the Riemannian metric induced by the flow map are key ideas to analyze fluid flow on the evolving surface.

연구 동기 및 목표

• 에너지적 및 열역학적 원리로부터 변화하는 표면 위의 일관된 탄성 유체 방정식 세트를 유도하는 것.
• 에너지 소산과 일 항목을 통한 표면 응력 텐서를 다루는 부소니크-스리븐 법칙에 대한 수학적 근거를 제공하는 것.
• 변화하는 표면 위에서 질량, 운동량, 에너지, 농도에 대한 보존 형태와 보존 법칙을 설정하는 것.
• 변분 원리와 비선형 에너지 밀도를 사용하여 변화하는 표면 위에서 열과 확산 방정식을 일반화하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 유동 맵에 의해 유도되는 리만 메트릭을 사용하여 표면 유체역학을 연속체 역학과 통합하는 것.

제안 방법

• 행동 및 소산 함수계를 기반으로 한 에너지적 변분 접근법(AVA)을 적용하여 운동량 및 에너지 방정식을 유도한다.
• 열역학의 제1법칙과 제2법칙을 사용하여 변화하는 표면 위에서 내부 에너지, 엔트로피, 함량 에너지, 자유 에너지를 유도한다.
• 물질 도함수 $ D_t = \frac{\nabla}{\nabla t} + (v, \nabla) $ 와 표면 발산 $ \mathrm{div}_\Gamma $ 를 사용하여 변화하는 다양체 위의 이동을 모델링한다.
• 유동 맵과 그에 의해 유도되는 리만 메트릭을 도입하여 표면 기울기, 발산, 응력 텐서를 정의한다.
• 점성 소산과 압력 일에서 유도된 표면 응력 텐서 $ S_\Gamma(v, \sigma, \mu, \lambda) $ 를 유도함으로써 부소니크-스리븐 법칙을 검증한다.
• 비선형 에너지 밀도 $ e_{TD} = e_{\mathcal{J}_1}(|\mathrm{grad}_\Gamma \theta|^2) $ 과 $ e_{SD} = e_{\mathcal{J}_2}(|\mathrm{grad}_\Gamma C|^2) $ 를 가정함으로써 열 및 확산 시스템을 일반화하고, 비선형 유량을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지적 및 열역학적 원리로부터 변화하는 표면 위의 탄성 유체역학을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ2 표면 유체역학에서 부소니크-스리븐 법칙의 수학적 기반은 무엇인가?
• RQ3 변화하는 표면 위에서 질량, 운동량, 에너지, 농도에 대한 보존 법칙은 어떻게 유도되는가?
• RQ4 변분 방법을 사용하여 변화하는 표면 위에서 열 및 확산 방정식을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 유동 맵에 의해 유도되는 리만 메트릭은 표면 유체 흐름 모델링에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 운동량 방정식 $ \rho D_t v = \mathrm{div}_\Gamma S_\Gamma(v, \sigma, \mu, \lambda) + \rho F $ 는 에너지적 변분 원리로부터 유도되며, $ S_\Gamma $ 는 점성 기여와 압력 기여를 포함한다.
• 표면 응력 텐서 $ S_\Gamma $ 는 에너지 소산과 압력에 의해 일하는 것에서 기인함을 수학적으로 검증되어 부소니크-스리븐 법칙이 확인된다.
• 에너지 방정식 $ \rho D_t e + (\mathrm{div}_\Gamma v)\sigma = \mathrm{div}_\Gamma q_\theta + \rho Q_\theta + \tilde{e}_D $ 에서 점성 소산항 $ \tilde{e}_D = 2\mu|D_\Gamma(v)|^2 + \lambda|\mathrm{div}_\Gamma v|^2 $ 이 포함된다.
• 일반화된 열 시스템 $ \rho D_t(C_\theta \theta) = \mathrm{div}_\Gamma(e'_{\mathcal{J}_1}(|\mathrm{grad}_\Gamma \theta|^2) \mathrm{grad}_\Gamma \theta) + \rho Q_\theta + \mathcal{F}_1 $ 은 고전적 푸리에 열전도를 변화하는 표면으로 확장한다.
• 확산 방정식 $ D_t C + (\mathrm{div}_\Gamma v)C = \mathrm{div}_\Gamma(e'_{\mathcal{J}_2}(|\mathrm{grad}_\Gamma C|^2) \mathrm{grad}_\Gamma C) + Q_C + \mathcal{F}_2 $ 는 비선형, 변화하는 표면 기하학에 대한 푸아죄 법칙의 일반화를 이룬다.
• 이 틀은 일관된 변분 및 열역학적 기초로부터 캐논ical 및 비-캐논ical 탄성 유체 시스템, 바로트로픽 모델을 포함하여 성공적으로 유도한다.