[논문 리뷰] On Deterministic Markov Processes: Expandability and Related Topics

Alexander Schnurr|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주어진 결정론적 함수 $ f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^d $ 가 결정론적 마르코프 과정의 경로가 될 수 있는지를 판단하기 위한 기준을 수립한다. 특히 반마르코프 과정과 이토 과정의 구조에 초점을 맞추고 있다. 주요 기여는 일차원 결정론적 마르코프 과정의 반마르코프 성질을 그 점프 행동에 따라 특성화한 것으로, 이러한 과정이 점프 구조를 가진 헌트 과정보다 더 복잡하다는 점을 드러낸다.

ABSTRACT

We treat the class of universal Markov processes on the d-dimensional Euklidean space which do not depend on random. For these, as well as for several subclasses, we prove criteria whether a function f, defined on the positive half-line, can be a path of a process in the respective class. This is useful in particular in the construction of (counter-)examples. Furthermore we characterize the processes of this kind, which are homogeneous in space and time. The semimartingale property is characterized in terms of the jumps of a one-dimensional deterministic Markov process. We emphasize the differences between the time homogeneous and the time inhomogeneous case and we show that a deterministic Markov process is in general more complicated than a Hunt process plus 'jump structure'.

연구 동기 및 목표

• 주어진 결정론적 함수 $ f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^d $ 가 주어진 클래스(예: 반마르코프 과정, 이토 과정)의 결정론적 마르코프 과정의 경로가 될 수 있는지 판단하는 것.
• 시간 동질성과 시간 비동질성의 결정론적 마르코프 과정 간의 구조적 차이를 명확히 하는 것.
• 결정론적 마르코프 과정이 반마르코프 과정이 될 수 있는지, 그리고 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한지 조사하는 것.
• 이러한 과정을 점프 성분을 추가한 헌트 과정으로 모델링하는 데서 발생하는 한계를 다루는 것.

제안 방법

• 논문은 주어진 경로가 결정론적 마르코프 과정에 임bedded될 수 있는지 여부를 판단하기 위해 확장 가능성 개념을 사용한다.
• 경로의 정규성과 점프 행동을 통해 일차원 결정론적 마르코프 과정의 반마르코프 성질을 특성화한다.
• 분석은 생성자 기호와 과정의 시간 비동질적 구조, 특히 시간-공간 확장에서의 성격에 기반한다.
• 시간 비동질적 경우를 연구하기 위해 단사 경로 사상 $ \Phi^x(t) = (X_t^x, t) $ 를 도입하고 생성자 기호를 유도한다.
• 조각별 선형 및 자기유사 경로를 사용하여 비마르코프 성질과 경로의 복잡성을 보여주는 명시적 반례를 구성한다.
• 반마르코프 과정의 특성과 마르팅글 문제와 같은 확률적 분석 기법을 적용하여 경로 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 결정론적 경로 $ f:[0,\infty)\to\mathbb{R}^d $ 가 주어진 클래스(예: 반마르코프 과정, 이토 과정)의 결정론적 마르코프 과정의 경로가 될 수 있는가?
• RQ2 일차원 결정론적 마르코프 과정의 반마르코프 성질은 그 경로 구조와 점프 행동에 의해 어떻게 특성화되는가?
• RQ3 시간 동질성과 시간 비동질성의 결정론적 마르코프 과정은 경로 행동과 구조적 복잡성 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ4 두 개의 시간 동질성 결정론적 마르코프 과정의 합은 반드시 시간 동질성과 마르코프 성질을 유지하는가?
• RQ5 결정론적 마르코프 과정을 추가 점프 성분을 가진 헌트 과정으로 모델링할 수 있는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 결정론적 마르코프 과정은 반드시 반마르코프 과정이 아니며, 반마르코프 성질은 그 일차원 경로의 점프 행동에 의해 특성화될 수 있다.
• 유한 변동성을 가지지 않으며, 일차원에서도 단조성이 없는 결정론적 마르코프 과정이 존재한다.
• 두 개의 시간 동질성 결정론적 마르코프 과정의 합은 반드시 시간 동질성 또는 마르코프 성질을 유지하지는 않으며, 명시적 반례로 이를 입증하였다.
• 선형 이동과 점프 구조의 조합을 통해 시간 동질성 조건 하에서도 유한 시간 내에 무한대에 도달하는 결정론적 과정을 구성할 수 있다.
• 시간 비동질성 결정론적 마르코프 과정의 시간-공간 확장은 시간 동질성 과정이 되지만, 생성자 기호는 경로에 따라 의존적이고 비트ivial해진다.
• 시간-공간 과정의 생성자 기호는 해당 점에서 경로의 오른쪽 도함수에 따라 달라지며, 마르코프 성질 덕분에 이 표현식은 잘 정의되어 있다.