[논문 리뷰] On Directed Lattice Paths With Additional Vertical Steps

Maciej Dziemiańczuk|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 20.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정수 k에 대해 수직 단계 (0,-1)과 비수직 단계 (1,k)를 포함하는 방향성 격자 경로에 대한 조합적 프레임워크를 제안한다. 주요 경로(수직 단계를 포함함)와 가중치가 부여된 비수직 경로 사이의 전단사 관계를 수립하여, 주요 경로의 수가 해당 가중치가 부여된 경로들에 대한 가중치 합과 같음을 보여준다. 주요 결과는 (0,0)에서 (n,-1)으로 가는 주요 경로에서 수직 단계의 기대값이 (0,0)에서 (n,0)으로 가는 자유 경로의 수와 같다는 것이다. 이는 경로 수세기와 생성함수, 그리고 딜라노이, 모츠킨, 딜라노이 경로와 같은 알려진 조합적 수열 간의 연결고리가 된다.

ABSTRACT

The paper is devoted to the study of lattice paths that consist of vertical steps $(0,-1)$ and non-vertical steps $(1,k)$ for some $k\in \mathbb Z$. Two special families of primary and free lattice paths with vertical steps are considered. It is shown that for any family of primary paths there are equinumerous families of proper weighted lattice paths that consist of only non-vertical steps. The relation between primary and free paths is established and some combinatorial and statistical properties are obtained. It is shown that the expected number of vertical steps in a primary path running from $(0,0)$ to $(n,-1)$ is equal to the number of free paths running from $(0,0)$ to $(n,0)$. Enumerative results with generating functions are given. Finally, a few examples of families of paths with vertical steps are presented and related to Łukasiewicz, Motzkin, Dyck and Delannoy paths.

연구 동기 및 목표

• 정수 k ∈ ℤ에 대해 수직 단계 (0,-1)과 비수직 단계 (1,k)를 포함하는 격자 경로를 연구한다.
• 주요 경로(수직 단계를 포함함)와 가중치가 부여된 비수직 경로 사이의 전단사 관계를 수립한다.
• 경로 수세기의 생성함수와 닫힌 형식 표현식을 유도한다.
• 디락, 모츠킨, 딜라노이 경로와 같은 고전적 조합적 대상과 경로 가족 간의 관계를 규명한다.
• 주요 경로에서 수직 단계의 기대 수를 계산하고, 이를 자유 경로 수와 연결한다.

제안 방법

• 자유 경로(F_S(m,n))와 주요 경로(P_S(m,n))라는 두 가지 경로 가족을 정의한다. 이들은 (0,0)에서 (n,-m)로 가는 경로이며, 주요 경로는 x축 위 또는 그 위에 머무르도록 제약을 둔다.
• 비수직 단계에 대해 가중치 함수 w를 구성하여, |P_V(m,n)| = ∑_{w-가중치가 부여된 경로 π ∈ P_L(m,n)} w(π) 를 만족하도록 한다. 여기서 L은 단계 집합이 변형된 것이다.
• 주요 V-경로와 w-가중치가 부여된 주요 L-경로 사이의 전단사 관계를 통해 수량 동일성(등수)을 증명한다.
• 핵심 방법과 생성함수 기법을 적용하여 경로 수의 닫힌 형식 표현식을 도출한다.
• 좌표 변환 (i,j) ↦ (i−j,i)를 통해 격자 경로를 변환하여, 딜라노이 경로를 단계 V, U₁, U₀를 포함하는 경로와 연결한다.
• 기호 조합론과 계수 추출 기법을 사용하여 경로 가족의 재귀식과 생성함수 관계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수직 단계를 포함하는 격자 경로는 어떻게 가중치가 부여된 비수직 단계를 사용하여 전단사적으로 인코딩할 수 있는가?
• RQ2 주요 경로에서 수직 단계의 수와 자유 경로의 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 수직 단계를 포함하는 경로 가족의 생성함수는 수직 단계를 포함하지 않는 경우와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 디락, 모츠킨, 딜라노이 경로와 같은 고전적 경로들은 이 프레임워크 아래에서 얼마나 통합될 수 있는가?
• RQ5 주요 경로에서 (0,0)에서 (n,-1)으로 가는 경로에서 수직 단계의 기대 수는 얼마이며, 자유 경로 수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 주요 경로에서 (0,0)에서 (n,-1)으로 가는 경로에서 수직 단계의 기대값은 (0,0)에서 (n,0)으로 가는 자유 경로의 수와 같으며, 즉 E[|V|] = |F_V(0,n)| 이다.
• 모든 수직 단계를 포함하는 주요 경로 가족에 대해 단계 집합 V ⊆ {V} ∪ Ω_N 가 U_N 와 V 를 포함하는 경우, L = (V ∖ {V}) ∪ {D₁, U₀, ..., U_N} 에 대해 해당하는 가중치가 부여된 경로 가족이 존재하여 |P_V(m,n)| = ∑_{π∈P_L(m,n)} w(π) 를 만족한다.
• 단계 집합 E = {V, U₁, U₀} 를 가진 주요 경로 |P_E(1,n)| 의 수는 큰 슈뢰더 수 S(n) 와 같으며, |P_E(1,n)| = (D(n,n+1) - D(n,n))/n 으로 주어진다.
• (0,0)에서 (n,k)로 가는 딜라노이 경로의 수는 D(n,k) = ∑_{j=0}^k binom(n,j) binom(n+k-j,n) 이며, D(n,n) 는 중심 딜라노이 수이다.
• 단계 집합 D = {V, U₁, U₀} 를 가진 주요 경로의 생성함수는 P_1(x) = (1 - √(1 - 4x - 4x²))/(2x) 를 만족하며, 이는 OEIS A025227 와 일치한다.
• 자유 경로의 수 |F_E(1,n)| 는 ∑_{j=0}^n ∑_{k=0}^{⌊(Nj+1)/(N+1)⌋} (-1)^{n-j} / j * binom(j,k) * binom((N+1)(j-k), j-1) 으로 주어지며, N=1 일 때 OEIS A179191 와 일치한다.