[논문 리뷰] On discontinuous Galerkin discretizations of second-order derivatives

Ammar Hakim, G. W. Hammett외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 22.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 제2차 도함수의 불연속 갈레르킨(DG) 이산화를 분석하며, 국소 DG(LDG) 및 복구 DG(RDG) 방법에 초점을 맞춘다. LDG는 상류화에 의한 비대칭성으로 인해 $L^2$ 노름에서 수렴하지 않는 기울기를 생성하지만, 시간에 의존하는 확산 문제에서는 오차가 빠르게 감쇠되어 해의 수렴성을 유지한다. RDG는 대칭적이며 고차수의 수렴 가능한 근사치를 제공하며 오차가 감소한다.

ABSTRACT

Some properties of a Local discontinuous Galerkin (LDG) algorithm are demonstrated for the problem of evaluting a second derivative $g = f_{xx}$ for a given $f$. (This is a somewhat unusual problem, but it is useful for understanding the initial transient response of an algorithm for diffusion equations.) LDG uses an auxiliary variable to break this up into two first order equations and then applies techniques by analogy to DG algorithms for advection algorithms. This introduces an asymmetry into the solution that depends on the choice of upwind directions for these two first order equations. When using piecewise linear basis functions, this LDG solution $g_h$ is shown not to converge in an $L_2$ norm because the slopes in each cell diverge. However, when LDG is used in a time-dependent diffusion problem, this error in the second derivative term is transient and rapidly decays away, so that the overall error is bounded. I.e., the LDG approximation $f_h(x,t)$ for a diffusion equation $\partial f / \partial t = f_{xx}$ converges to the proper solution (as has been shown before), even though the initial rate of change $\partial f_h / \partial t$ does not converge. We also show results from the Recovery discontinuous Galerkin (RDG) approach, which gives symmetric solutions that can have higher rates of convergence for a stencil that couples the same number of cells.

연구 동기 및 목표

• 제2차 도함수 계산 시 불연속 갈레르킨 방법의 수렴 행동을 분석하는 것, 특히 확산 및 타원형 문제의 맥락에서.
• 상류화 선택에 의해 유도되는 국소 DG(LDG) 방법의 비대칭성이 제2차 도함수 근사치 정확도에 미치는 영향을 조사하는 것.
• LDG와 연속 기울기를 세포 경계를 넘어 재구성하여 대칭성과 수렴성을 향상시키는 복구 DG(RDG) 방법을 비교하는 것.
• 수렴하지 않는 제2차 도함수 근사치가 시간에 의존하는 확산 및 초확산 문제에 미치는 영향을 평가하는 것.
• 플라즈마 물리학 및 미세구조 모델링에 적합한 고차수 도함수를 포함하는 문제들, 예를 들어 $f_{xxxx}$와 같은 문제들에서 이러한 방법들의 성능을 평가하는 것.

제안 방법

• 제2차 도함수 연산자의 약한 형태를 유도하기 위해 다항식 선형 기저 함수와 레지오르드 다항식을 시험 함수로 사용한다.
• LDG 방법을 적용하기 위해 보조 변수 $q = f_x$ 및 $g = q_x$ 를 도입하고, 제2차 편미분 방정식을 일阶 미분 방정식의 체계로 재구성한다.
• 안정성을 확보하기 위해 상류화 편향이 있는 수치적 플럭스를 적용하여, 상류화 방향 선택에 따라 비대칭성이 유도된다.
• RDG 접근법을 통해 최소 제곱법을 사용하여 세포 경계를 넘어 연속적인 해의 표현을 재구성하여 기울기를 계산한다.
• 이산 제2차 도함수 연산자의 고유모드를 분석하여 LDG에서 수렴하지 않는 원인인 가짜 고주파수 모드를 식별한다.
• 확산 방정식 $\partial f/\partial t = f_{xx}$ 의 시간에 의존하는 시뮬레이션을 수행하여 일시적 오차 역학과 $f_h(x,t)$ 의 수렴성을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 다항식 선형 기저 함수를 사용할 경우 LDG 이산화에서 $f_{xx}$ 가 $L^2$ 노름에서 수렴하지 않나, 비록 시간에 의존하는 문제에서는 해가 수렴하기는 하지만?
• RQ2 LDG에서 상류화 방향의 선택이 제2차 도함수 근사치의 대칭성과 수렴 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 복구 DG(RDG) 방법이 제2차 도함수 계산에서 LDG보다 더 높은 수렴 속도와 더 나은 안정성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 수렴하지 않는 제2차 도함수 근사치가 시간에 의존하는 확산 및 초확산 방정식의 해에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이산 $\partial^2/\partial x^2$ 연산자의 가짜 고유모드가 슈뢰딩거 방정식과 같은 문제에서 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 다항식 선형 기저 함수를 사용할 경우, LDG 방법은 $L^2$ 노름에서 수렴하지 않는 제2차 도함수 근사치 $g_h$ 를 생성한다. 이는 수렴하는 세포 평균과는 달리 세포 기울기가 발산하기 때문이다.
• LDG에서의 수렴하지 않는 오차는 일시적이며, 시간에 의존하는 확산 문제에서는 빠르게 감쇠되어 해 $f_h(x,t)$ 가 진짜 해로 수렴하게 한다.
• 복구 DG(RDG) 방법은 제2차 도함수 및 시간에 의존하는 확산 문제 모두에서 대칭적이며 고차수의 수렴 가능한 근사치를 제공하며, LDG보다 오차가 작다.
• 슈뢰딩거 방정식 테스트 케이스에서 제2차 도함수 오차는 크기가 약 일정하나, 가짜 모드의 상쇄로 인해 에너지와 같은 관측량의 수렴은 방해받지 않는다.
• 초확산 연산자인 $f_{xxxx}$ 와 같은 경우, RDG는 3세포 스텐실로 더 높은 정확도를 달성할 수 있으나, LDG는 순차적으로 적용할 경우 5세포 스텐실이 필요하다.
• LDG의 주요 오차는 $k$-번째 조화성분과 관련된 고주파수 고유모드에서 기인하며, 이는 시간이 지남에 따라 빠르게 감쇠되어 오차의 일시적 성격을 설명한다.