[논문 리뷰] On discrete functional inequalities for some finite volume schemes

Marianne Bessemoulin‐Chatard, Claire Chainais-Hillairet외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 22.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 메esh와 임의의 경계 조건을 갖는 유한체적 스킴에 대해 이산 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 및 Poincaré-Sobolev 부등식을 수립하며, BV(Ω)가 L^{N/(N-1)}(Ω)에 연속적으로 포함됨을 이용한다. 주요 기여는 DDFV(이산 이중성 유한체적) 프레임워크 내에서 비선형 및 비등방성 타원형 및 포아송형 문제의 수렴 분석을 위한 강력한 프레임워크를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

We prove several discrete Gagliardo-Nirenberg-Sobolev and Poincaré-Sobolev inequalities for some approximations with arbitrary boundary values on finite volume meshes. The keypoint of our approach is to use the continuous embedding of the space $BV(Ω)$ into $L^{N/(N-1)}(Ω)$ for a Lipschitz domain $ Ω\subset \mathbb{R}^{N}$, with $N \geq 2$. Finally, we give several applications to discrete duality finite volume (DDFV) schemes which are used for the approximation of nonlinear and non isotropic elliptic and parabolic problems.

연구 동기 및 목표

• 비선형 및 비등방성 타원형 및 포아송형 문제에 적용 가능한 유한체적 스킴에 대한 이산 함수 부등식을 유도하기 위해.
• Poincaré-Sobolev 및 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 부등식을 일반적인 유한체적 메쉬와 임의의 경계 값으로 확장하기 위해.
• DDFV 스킴의 수렴성 및 오차 분석을 위한 이론적 기반을 제공하기 위해 BV 공간 임베딩을 활용하기 위해.
• 연속적 임베딩을 바탕으로 한 단일 분석 프레임워크 내에서 기존의 이산 부등식을 통합 및 일반화하기 위해.
• 디리클레, 노이만 또는 혼합 경계 조건을 갖는 문제에 대해 DDFV 스킴의 수렴 분석을 지원하기 위해.

제안 방법

• Lipschitz 도메인 Ω ⊂ ℝ^N (N ≥ 2) 에 대해 BV(Ω) 공간이 L^{N/(N-1)}(Ω)에 연속적으로 포함됨을 기반으로 하는 분석적 도구를 사용한다.
• 이 임베딩을 활용해 유한체적 근사에 대한 이산 부등식을 유도하며, 특히 DDFV(이산 이중성 유한체적) 프레임워크 내에서 적용한다.
• 셀 및 이중 셀의 미지수에 기반한 이산 기울기 형식을 사용하며, 메쉬의 면에서 정의된 표면 유량을 활용한다.
• Cauchy-Schwarz 및 메쉬의 각도 α_T 를 포함한 기하학적 추정을 통해 이산 반노름을 L^q 노름에 대해 유계로 제한한다.
• 기본적인 연속 임베딩 논증을 적응시켜 동일한 디리클레 및 노이만 경계 조건에 대해 이산 부등식을 도출한다.
• 이산 함수의 L^q 노름을 이산 W^{1,p} 반노름에 대해 유계로 제한하며, 도메인 기하학성 및 메쉬 정규성에 따라 변화하는 상수를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 메쉬와 임의의 경계 조건을 갖는 유한체적 스킴에 대해 이산 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 및 Poincaré-Sobolev 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 BV(Ω)가 L^{N/(N-1)}(Ω)에 연속적으로 포함됨을 어떻게 활용하여 이산 유한체적 맥락에서 강력한 이산 함수 부등식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 이산 부등식 상수의 메쉬 정규성, 특히 각도 α_T 에 대한 의존성과 안정성은 어떻게 되는가?
• RQ4 이러한 부등식은 혼합 또는 비동일한 경계 조건을 갖는 DDFV 스킴으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ5 이러한 부등식은 DDFV 프레임워크 내에서 비선형 및 비등방성 타원형 및 포아송형 문제의 수렴 분석을 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 2차원에서 동일한 디리클레 경계 조건을 갖는 DDFV 스킴에 대해 이산 Poincaré-Sobolev 부등식이 수립되었으며, 1 ≤ p < 2 이고 1 ≤ q ≤ p* = 2p/(2-p) 인 경우와 p ≥ 2 이고 1 ≤ q < ∞ 인 경우에 대해 유효하다.
• 부등식의 상수는 p, q, 경계 부분 ̺0, 도메인 Ω, 그리고 메쉬의 최소 각도 α_T 에 따라 달라지며, 분모에 1/(sin(α_T))^{1/p} 요소가 포함되어 있다.
• p=2 인 경우, 부등식은 1/sin(α_T) 비례 상수를 갖는 이산 Poincaré 유형의 bound로 축소되며, 메쉬 왜곡에 대해 안정성을 확인한다.
• 이 방법은 이산 해의 L^q 노름에서 균일한 유계를 제공함으로써 비선형 및 비등방성 PDE의 수렴 분석을 가능하게 한다.
• 이전 결과를 일반화하기 위해 제한적인 메쉬 가정(예: 수직성)을 피하고 임의의 경계 값으로 확장함으로써 일반화된 접근을 제공한다.
• 통일된 임베딩 기반 논증을 통해 디리클레 및 노이만 경계 조건을 모두 지원함으로써 실제 문제 적용 가능성을 향상시킨다.