[논문 리뷰] On discrete time hedging in d-dimensional option pricing models

Mika Hujo|ArXiv.org|2007. 03. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 8인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 d차원 확산 모델에서 연속시간 스토크라스틱 적분을 조각상수 포트폴리오로 근사함으로써 이산시간 헤징을 연구한다. 결정론적이고 등간격이 아닌 시간 네트워크를 사용할 경우 헤징 오차의 최적 L² 수렴 속도로 n⁻¹ᐟ²를 확립하며, 이는 다차원 설정에서 디지털 옵션에 대해 이전에 알려진 n⁻¹ᐟ⁴ 수렴 속도를 향상시킨다.

ABSTRACT

We study the approximation of certain stochastic integrals with respect to a d-dimensional diffusion by corresponding stochastic integrals with piece-wise constant integrands. In finance this corresponds to replacing a continuously adjusted portfolio by discretely adjusted one. The approximation error is measured with respect to $L^2$ and it is shown that under certain assumptions the approximation rate is $n^{-1/2}$ when one optimizes over deterministic but not necessarily equidistant time-nets.

연구 동기 및 목표

• 유럽식 옵션의 이산시간 헤징에서의 근사 오차를 d차원 확산 모델에서 분석한다.
• 특히 디지털 옵션에 대해 알려진 n⁻¹ᐟ⁴ 수렴 속도를 향상시키기 위해 등간격이 아닌 시간 네트워크에 대해 최적화한다.
• 일차원 결과에서 최적의 네트워크 설계를 다차원으로 확장하며, 드리프트가 포함된 모델도 포함한다.
• 수익 함수와 확산 계수에 대한 약한 정규성 조건 하에서 일반적인 L² 수렴 속도 n⁻¹ᐟ²를 확립한다.
• 다자산 파생상품 가격 설정에서 실용적인 포트폴리오 재조정 전략에 대한 이론적 기초를 제공한다.

제안 방법

• 연속시간 스토크라스틱 적분 ∫NᵤᵏdXᵤᵏ을 결정론적 시간 네트워크 0 = t₀ < ⋃ < tₙ = T에 대해 이산 합 ∑ᵢNₜᵢ₋₁ᵏ(Xₜᵢᵏ−Xₜᵢ₋₁ᵏ)로 근사한다.
• 연속적이고 이산적인 헤징 전략 간의 L² 근사 오차를 측정한다.
• 최대 n+1개의 꼬리점이 있는 모든 결정론적 시간 네트워크에 대해 오차를 최적화한다. 이는 등간격이 아닌 분할도 허용한다.
• 오차를 수익 함수와 확산 계수의 도함수로 제어하기 위해 이토의 공식과 말리아빈 미분 기법을 적용한다.
• 확산 과정의 전이 밀도 꼬리 추정을 사용하여 피적분 함수와 그 도함수의 모멘트를 유계화한다.
• 횔더 부등식과 모멘트 유계를 적용하여 오차 과정의 L² 노름을 제어하며, 특히 다항식 성장 또는 특이성(예: 디지털 옵션)을 가진 함수에 대해 유의하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등간격이 아닌 시간 네트워크를 사용할 경우 d차원 확산 모델에서 이산시간 헤징의 최적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 일반적인 결정론적 시간 네트워크에 대해 최적화함으로써 다차원 모델에서 디지털 옵션에 대해 알려진 n⁻¹ᐟ⁴ 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 기초 확산 과정에 드리프트 항이 존재할 경우 이산 헤징 전략의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 수익 함수와 확산 계수에 대해 어떤 조건이 성립할 경우 다차원 설정에서 n⁻¹ᐟ² 수렴 속도가 유지되는가?
• RQ5 표준적인 등간격 시간 네트워크가 최적의 등간격이 아닌 네트워크에 비해 수렴 속도를 달성하지 못하는 정도는 어느 정도인가?

주요 결과

• 이 논문은 최대 n+1개의 꼬리점이 있는 모든 결정론적 시간 네트워크에 대해 최적화할 경우, d차원 확산 모델에서 이산시간 헤징의 최적 L² 수렴 속도로 n⁻¹ᐟ²를 확립한다.
• 이 속도는 이전에 알려진 다차원 설정에서 디지털 옵션에 대해 n⁻¹ᐟ⁴로 기록된 속도를 향상시키며, 등간격 네트워크를 최적화된 등간격이 아닌 네트워크로 대체함으로써 달성된다.
• 이 결과는 디지털 옵션을 포함한 함수의 클래스에 대해 적용되며, 확산 계수와 수익 함수에 대한 약한 정규성 및 모멘트 조건이 성립할 경우 유의하다.
• 분석 과정에서 기초 확산 과정의 드리프트 항을 고려하였으며, 이는 문헌에서 흔히 간과되지만 본 논문에서는 포함되어 있다.
• 수렴 속도는 정밀한 모멘트 추정과 헤징 오차의 말리아빈 도함수 유계를 통해 달성되며, 전이 밀도의 꼬리 행동을 활용한다.
• 증명은 획더 부등식과 피적분 함수 및 그 도함수의 모멘트 유계에 기반하며, 주어진 가정 하에서 L² 오차의 유한성을 보장한다.