[논문 리뷰] On Distance-$d$ Independent Set and other problems in graphs with few minimal separators

Pedro Montealegre, Ioan Todinca|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 15.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Fomin과 Villanger의 최소 분리자 수가 적은 그래프에서 다항시간 알고리즘을 확장하여, 거리-$d$ 독립집합 문제가 임의의 짝수 $d$에 대해 다항시간으로 해결 가능하다는 것을 보여준다. 이는 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$에서 최소 분리자가 다항적으로 많은 그래프에서 성립한다. 특히, $d-1$가 홀수일 때 그래프의 $(d-1)$-승은 원래 그래프보다 더 많은 최소 분리자를 가지지 않음을 증명함으로써, 짝수 $d$에 대해 최소 분리자 기반 동적 프로그래밍을 가능하게 한다. 이 결과는 코어 그래프와 원형 호 그래프를 포함한 부분집합인 코어 그래프 및 원형 호 그래프에서 연결된 정점 커버와 연결된 피드백 정점 집합 문제로도 확장된다.

ABSTRACT

Fomin and Villanger (STACS 2010) proved that Maximum Independent Set, Feedback Vertex Set, and more generally the problem of finding a maximum induced subgraph of treewith at most a constant $t$, can be solved in polynomial time on graph classes with polynomially many minimal separators. We extend these results in two directions. Let $\Gpoly$ be the class of graphs with at most $\poly(n)$ minimal separators, for some polynomial $\poly$. We show that the odd powers of a graph $G$ have at most as many minimal separators as $G$. Consequently, extsc{Distance-$d$ Independent Set}, which consists in finding maximum set of vertices at pairwise distance at least $d$, is polynomial on $\Gpoly$, for any even $d$. The problem is NP-hard on chordal graphs for any odd $d \geq 3$. We also provide polynomial algorithms for Connected Vertex Cover and Connected Feedback Vertex Set on subclasses of $\Gpoly$ including chordal and circular-arc graphs, and we discuss variants of independent domination problems.

연구 동기 및 목표

• 트리폭이 유한한 유도 부분그래프를 초월하여 거리 및 연결성 제약 조건을 가진 그래프 문제의 다항시간 해법을 확장하기 위해.
• 특히 코어 그래프 및 약한 코어 그래프에서 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$에서의 거리-$d$ 독립집합 문제의 복잡도를 해결하기 위해.
• 연결된 정점 커버 및 연결된 피드백 정점 집합 문제가 코어 그래프 및 원형 호 그래프와 같은 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$ 부분집합에서 다항시간으로 해결 가능한지 조사하기 위해.
• 최소 분리자, 그래프 승수, CMSO로 표현 가능한 성질 간의 상호작용을 동적 프로그래밍 프레임워크 내에서 탐색하기 위해.

제안 방법

• 다음 조건에서 그래프 $G$의 $(d-1)$-승이 $G$보다 더 많은 최소 분리자를 가지지 않음을 이용하여, 거리-$d$ 독립집합 문제를 $G^{d-1}$에서의 문제로 환원할 수 있음을 활용한다: $d-1$가 홀수일 때.
• Fomin과 Villanger(2010)의 방법을 응용하여 최소 분리자 및 잠재적 최대 클리크 기반 동적 프로그래밍을 적용하여, $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$에서 짝수 $d$에 대해 거리-$d$ 독립집합 문제를 해결한다.
• 연결된 정점 커버 문제를 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$ 내 이분 그래프에서 레드-블루 독립집합 문제로 환원하여, 레드-블루 독립집합 문제가 다항시간으로 해결 가능할 경우 다항시간 해법을 얻는다.
• 기존의 나무 보강 문제 및 기본 그래프에 대한 결과를 활용하여, 코어 이분 그래프 및 원형 이분 그래프에서 레드-블루 독립집합 문제가 다항시간으로 해결 가능하다는 것을 증명한다.
• Fomin 등(2013)의 프레임워크를 확장하여 CMSO 논리와 유도 부분그래프 조건을 통합함으로써 연결성 및 지배 제약 조건을 포함한다.
• 주요 환원 과정에서 최소 분리자의 수가 최대 $\mathcal{O}(n)$ 이내로 증가함을 증명함으로써, 다항시간 해법의 유지가 보장됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거리-$d$ 독립집합 문제의 다항시간 해법이 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$에서 짝수 $d$에 대해 가능할까?
• RQ2 코어 그래프 및 원형 호 그래프에서 연결된 정점 커버 문제의 다항시간 해법이 가능할까? (이는 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$의 부분집합이다.)
• RQ3 특히 홀수 승에 대해, 그래프 승수에서 최소 분리자의 수가 유한하게 유지되는가?
• RQ4 레드-블루 독립집합 문제가 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$ 내 이분 그래프, 특히 코어 이분 그래프 및 원형 이분 그래프에서 다항시간으로 해결 가능한가?
• RQ5 Fomin과 Villanger의 동적 프로그래밍 프레임워크는 연결성 및 지배 제약 조건을 가진 유도 부분그래프 문제를 다룰 수 있도록 확장 가능한가?

주요 결과

• 거리-$d$ 독립집합 문제의 다항시간 해법이 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$에서 임의의 짝수 $d$에 대해 가능하다. 이는 그래프의 홀수 승에서 최소 분리자 수가 유지되기 때문이다.
• 모든 홀수 $d \geq 3$에 대해, 최소 분리자 수의 다항적 유계가 $n$보다 점점 더 큰 점근적 크기를 가질 경우, 이 문제는 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$에서 NP-난이도이다.
• 연결된 정점 커버 문제의 다항시간 해법이 코어 그래프 및 원형 호 그래프에서 가능하다. 이는 이들이 $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$의 부분집합이면서, 그 이분 그래프에서 레드-블루 독립집합 문제가 다항시간으로 해결 가능하기 때문이다.
• 레드-블루 독립집합 문제가 코어 이분 그래프에서 Kanj 등에 의해 다항시간으로 해결 가능하다는 것이 입증되었고, 원형 이분 그래프에서는 평면 다중그래프에서의 나무 보강 문제로의 환원을 통해 다항시간으로 해결 가능하다.
• 연결된 정점 커버에서 레드-블루 독립집합 문제로의 환원 과정에서 최소 분리자 수가 최대 $\mathcal{O}(n)$ 이내로 증가하므로, $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$에서 다항시간 해법이 유지된다.
• 프레임워크는 트리폭이 유한한 유도 부분그래프에 추가로 CMSO 제약 조건(예: 연결성 또는 지배성)을 포함하는 문제로도 확장 가능하며, $\mathcal{G}_{\operatorname{poly}}$ 부분집합에 대해 적용 가능하다.