[논문 리뷰] On distance, geodesic and arc transitivity of graphs

Alice Devillers, Wei Jin외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 11.

Finite Group Theory Research참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 그래프에서 대칭 성질의 계층 구조—특히 s-거리 전이성, s-지오데식 전이성, s-화살표 전이성—을 조사하며, s ∈ {1,2,3}일 때, 임의로 큰 지름을 가진 (s+1)-화살표 전이성이 아닌 s-화살표 전이성인 지오데식 전이성 그래프가 무수히 많다는 것을 증명한다. 또한 소수 차수를 가진 2-지오데식 전이성 그래프 중 2-화살표 전이성이 아닌 그래프를 분류하여, p ≡ 1 (mod 4)일 때에만 존재하며, 이는 PSL(2,p) × Z₂를 자기동형군으로 가지는 K_{p+1}의 비이분할 이중 덮개로 유일하게 실현 가능하다고 보여준다.

ABSTRACT

We compare three transitivity properties of finite graphs, namely, for a positive integer $s$, $s$-distance transitivity, $s$-geodesic transitivity and $s$-arc transitivity. It is known that if a finite graph is $s$-arc transitive but not $(s+1)$-arc transitive then $s\leq 7$ and $s eq 6$. We show that there are infinitely many geodesic transitive graphs with this property for each of these values of $s$, and that these graphs can have arbitrarily large diameter if and only if $1\leq s\leq 3$. Moreover, for a prime $p$ we prove that there exists a graph of valency $p$ that is 2-geodesic transitive but not 2-arc transitive if and only if $p\equiv 1\pmod 4$, and for each such prime there is a unique graph with this property: it is an antipodal double cover of the complete graph $K_{p+1}$ and is geodesic transitive with automorphism group $PSL(2,p) imes Z_2$.

연구 동기 및 목표

• 유한 그래프에서 s-거리 전이성, s-지오데식 전이성, s-화살표 전이성 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 임의로 큰 지름을 가진 (s+1)-화살표 전이성이 아닌 s-화살표 전이성인 지오데식 전이성 그래프가 존재하는 s의 값을 규명하기 위해.
• 2-지오데식 전이성 그래프 중 소수 차수이면서 2-화살표 전이성이 아닌 그래프를 모두 분류하기 위해.
• 거리 전이성이지만 지오데식 전이성이 아닌 지름 2 그래프가 존재하는 조건을 규명하기 위해.
• 유사한 분류 결과가 소수 차수가 아닌 경우로도 확장 가능한지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 존슨 그래프, 해밍 그래프, 올드 그래프, 고전적 일반화 다각형과 같은 잘 알려진 거리 전이성 그래프의 가닥을 분석하여, 원하는 화살표 전이성 성질을 가진 지오데식 전이성 그래프의 무한한 가닥이 존재함을 입증한다.
• 특히, Cos(G, H, HgH) 형태의 코셋 그래프를 사용한 군론적 구성 기법을 활용하여 특정 대칭성과 차수 성질을 가진 그래프를 구축하고 분석한다.
• 소수 차수 p ≡ 1 (mod 4)인 경우, PSL(2,p)와 중심적 반전을 사용하여 K_{p+1}의 비이분할 이중 덮개로 유일한 2-지오데식 전이성 그래프를 구성한다.
• PGL(2,p) 내에서의 코너지션을 통해 부분군과 원소의 선택이 동형 그래프를 유도함을 보여, 구성의 동형 불변성을 증명한다.
• 정점 안정자군의 궤도 구조와 이들의 이웃 및 두 번째 이웃에 대한 작용을 분석하여 2-지오데식 전이성을 검증한다.
• 자기동형군과 둘레의 기존 결과를 활용하여, 그래프가 2-화살표 전이성이 아니라는 것을 입증하며, 이는 둘레가 3이고 이웃이 서로 겹치지 않기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 s 값에 대해, (s+1)-화살표 전이성이 아닌 s-화살표 전이성인 지오데식 전이성 그래프가 존재하며, 이 그래프가 임의로 큰 지름을 가질 수 있는가?
• RQ2 소수 차수를 가진 2-지오데식 전이성 그래프가 2-화살표 전이성이 되지 않기 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가?
• RQ3 소수 차수 p를 가진 2-지오데식 전이성 그래프 중 2-화살표 전이성이 아닌 그래프는 유일하게 존재하는가? 그 자기동형군은 무엇인가?
• RQ4 지름 2의 거리 전이성 그래프 중 지오데식 전이성이 아닌 것은 무엇이며, 가장 작은 예는 무엇인가?
• RQ5 소수 차수가 아닌 경우로도 소수 차수를 가진 2-지오데식 전이성 그래프의 분류 결과를 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 각 s ∈ {1,2,3,4,5,7}에 대해, (s+1)-화살표 전이성이 아닌 s-화살표 전이성인 지오데식 전이성 그래프가 무수히 많다.
• 지오데식 전이성 그래프 중 s-화살표 전이성이지만 (s+1)-화살표 전이성이 아닌 그래프가 임의로 큰 지름을 가질 수 있는 것은 s ≤ 3일 때에만 성립한다.
• 소수 차수 p에 대해, 2-지오데식 전이성 그래프 중 2-화살표 전이성이 아닌 그래프가 존재하는 것은 p ≡ 1 (mod 4)일 때에만 성립한다.
• 그러한 그래프가 존재할 경우, 이는 PSL(2,p) × Z₂를 자기동형군으로 가지는 K_{p+1}의 비이분할 이중 덮개로 유일하게 실현 가능하다.
• 페일리 그래프 P(q)는 모든 q ≡ 1 (mod 4)에 대해 거리 전이성이지만, q = 5 또는 9일 때에만 지오데식 전이성이며, q > 9일 경우 거리 전이성은 되지만 지오데식 전이성이 아닌 지름 2 그래프의 첫 번째 알려진 가닥이다.
• 분류에서 구성된 그래프는 2-지오데식 전이성은 되지만 2-화살표 전이성이 아니며, 둘레는 3이고 지름은 3이며, 크기가 2인 블록의 유일한 불가약성 체계를 갖는다.