[논문 리뷰] On distinct consecutive $r$-differences

Junxian Li, George Shakan|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 12.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ A $가 서로 다른 연속 $ r $-차이를 가지는 경우에 합집합의 크기 $ |A+B| $ 에 대한 날카운 하한을 확립하며, $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 를 도출한다. 이는 $ r=1 $ 인 경우 Solymosi의 결과를 일반화한 것이다. 이 하한은 de Bruijn 수열을 이용하여 상수 항을 제외하고 최적임을 보이며, 논문은 또한 무리수 $ \alpha $ 에 대해 $ \{\{n\alpha\}\} $ 의 집합이 최대 $ 2r+1 $ 개의 서로 다른 연속 $ r $-차이를 가짐을 증명한다. 이는 Steinhaus의 세 간격 정리의 일반화이다.

ABSTRACT

Suppose $A\subset \mathbb{R}$ of size $k$ has distinct consecutive $r$--differences, that is for $1 \leq i \leq k -r$, the $r$--tuples $$(a_{i+1} - a_i , \ldots , a_{i+r} - a_{i + r -1})$$ are distinct. Then for any finite $B \subset \mathbb{R}$, one has $$|A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)}.$$ Utilizing de Bruijn sequences, we show this inequality is sharp up to the constant. Moreover, for the sequence $\{nα\}$, a sharp upper bound for the size of the distinct consecutive $r$--differences is obtained, which generalizes Steinhaus' three gap theorem. A dual problem on the consecutive $r$--differences of the returning times for some $ϕ\in \mathbb{R}$ defined by $\{T : \{Tθ\}

연구 동기 및 목표

• Solymosi의 합집합 추정 $ |A+B| \gg |A||B|^{1/2} $ 을 $ r \geq 1 $ 인 서로 다른 연속 $ r $-차이를 가진 집합으로 일반화하기.
• de Bruijn 수열을 사용하여 유도된 추정 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 가 상수 항을 제외하고 최적임을 보여주기.
• 무리수 $ \alpha $ 에 대해 집합 $ \{\{n\alpha\}\} $ 에서 서로 다른 연속 $ r $-차이의 최대 개수를 결정하여 Steinhaus의 세 간격 정리를 일반화하기.
• Beatty 수열의 반복 시간으로의 분석을 확장하여 $ R_\theta(\phi) $ 가 최대 $ 2r+1 $ 개의 서로 다른 연속 $ r $-차이를 가짐을 증명하고 Slater의 결과를 일반화하기.

제안 방법

• 서로 다른 연속 $ r $-차이를 정의하여, $ 1 \leq i \leq k-r $ 에 대해 연속 차이 $ (a_{i+1}-a_i, \dots, a_{i+r}-a_{i+r-1}) $ 의 서로 다른 $ r $-튜플로 정의한다.
• de Bruijn 수열의 구조에 기반한 조합론적 추론을 사용하여 상수 항을 제외하고 하한에 도달하는 극한 집합을 구성한다.
• 연속 분수 이론과 간격 분할을 적용하여 분수 부분 $ \{n\alpha\} $ 과 $ \{s\theta\} $ 의 분포를 분석한다.
• 구간 $ [0,\phi) $ 를 분할하는 방식에 기반하여 $ r $ 에 대한 귀납법을 사용하여 $ R_\theta(\phi) $ 의 서로 다른 연속 $ r $-차이의 수가 최대 $ 2r+1 $ 이라는 것을 증명한다.
• 구간 $ [0,\phi) $ 내의 간격과 반복 시간의 연속 $ r $-차이 사이의 일对일 대응을 활용하여 가능한 모든 $ r $-튜플을 분류한다.
• 실수 및 유한체 환경 모두에서 합집합 추정 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 이 성립함을 증명하며, 상수는 $ r $ 에만 의존하는 절대 상수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 $ A $ 가 서로 다른 연속 $ r $-차이를 가질 때, $ |A+B| $ 에 대한 최선의 하한은 무엇인가?
• RQ2 추정 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 는 향상될 수 있는가, 아니면 상수 항을 제외하고 최적인가?
• RQ3 무리수 $ \alpha $ 에 대해 집합 $ \{\{n\alpha\}\} $ 에서 서로 다른 연속 $ r $-차이가 존재할 수 있는 최대 개수는 얼마인가?
• RQ4 반복 시간 집합 $ R_\theta(\phi) $ 에서 서로 다른 연속 $ r $-차이의 최대 개수는 얼마인가?
• RQ5 $ \{\{n\alpha\}\} $ 과 $ R_\theta(\phi) $ 의 구조가 $ r $-차이 측면에서 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 모든 유한한 $ A,B \subset \mathbb{R} $ 에 대해 $ A $ 가 서로 다른 연속 $ r $-차이를 가지면 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 를 만족하며, 상수는 $ r $ 에만 의존하는 절대 상수이다.
• de Bruijn 수열을 이용한 구성으로 상수 항을 제외하고 이 하한이 최적임을 입증하였다.
• 무리수 $ \alpha $ 에 대해 $ S_\alpha(N) = \{\{n\alpha\} \}_{n=1}^N $ 의 경우, 서로 다른 연속 $ r $-차이의 수는 최대 $ 2r+1 $ 개이다. 이는 Steinhaus의 세 간격 정리를 일반화한다.
• 반복 시간 집합 $ R_\theta(\phi) = \{ T \in \mathbb{N}^+ : \{T\theta\} < \phi \} $ 에 대해서도 서로 다른 연속 $ r $-차이의 수는 최대 $ 2r+1 $ 개이다. 이는 $ r=1 $ 인 경우 Slater의 결과를 일반화한다.
• $ \mathbb{F}_p $ 에서도 추정 $ |A+B| \gg_r |A||B|^{1/(r+1)} $ 는 동일한 점근적 행동을 보이며, $ A+B \neq \mathbb{F}_p $ 라면 성립한다.
• 논문은 $ |A+A| \gg_r |A|^{1+\theta_r/(r+1)} $ 의 지수에서 $ \theta_r \geq 1 $ 이라는 것을 보이며, $ \theta_r \leq 2 $ 를 보여주는 구성도 제시하여 지수가 상수 항을 제외하고 최적임을 시사한다.