[논문 리뷰] On Distribution of Laplacian Eigenvalues of Graphs

Bilal Ahmad Rather|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 19.

Graph theory and applications참고 문헌 62인용 수 4

한 줄 요약

이 박사학위논문은 라플라시안 행렬, 정규화 라플라시안 행렬, 부호없는 라플라시안 행렬, 거리 부호없는 라플라시안 행렬을 포함한 다양한 그래프 행렬에서 라플라시안 고유값의 분포를 조사한다. 논문은 k개의 가장 큰 라플라시안 고유값의 합에 대한 상한을 도출하고, 더 넓은 그래프 계열에 대해 브로우어의 추측을 증명하며, 지름 4인 트리와 비잎이 적은 정점 수를 가진 트리에 대해 라플라시안 에너지 추측을 검증하고, 특히 특정 α 조건 하에서 별 그래프가 일반화된 거리 에너지를 최소화함을 보여주는 정확한 스펙트럼과 에너지 상한을 유도한다.

ABSTRACT

The work in this thesis concerns the investigation of eigenvalues of the Laplacian matrix, normalized Laplacian matrix, signless Laplacian matrix and distance signless Laplacian matrix of graphs. In Chapter 1, we present a brief introduction of spectral graph theory with some definitions. Chapter $2$ deals with the sum of $ k $ largest Laplacian eigenvalues $ S_{k}(G) $ of graph $ G $ and Brouwer's conjecture. We obtain the upper bounds for $ S_{k}(G) $ for some classes of graphs and use them to verify Brouwer's conjecture for these classes of graphs. Also, we prove Brouwer's conjecture for more general classes of graphs. In Chapter $3$, we investigate the Laplacian eigenvalues of graphs and the Laplacian energy conjecture for trees. We prove the Laplacian energy conjecture completely for trees of diameter $ 4 $. Further, we prove this conjecture for all trees having at most $ \frac{9n}{25}-2 $ non-pendent vertices. Also, we obtain the sufficient conditions for the truth of conjecture for trees of order $ n $. In Chapter $4$, we determine the normalized Laplacian spectrum of the joined union of regular graphs and obtain the spectrum of some well known graphs. As consequences of joined union, we obtain the normalized Laplacian spectrum of power graphs associated to finite cyclic groups. In Chapter $5$, we find the distance signless Laplacian spectrum of regular graphs and zero-divisor graphs associated to finite commutative ring. Also, we find the bounds for spectral radius of generalized distance matrix. Further, we obtain the generalized distance energy for bipartite graphs and trees. We prove that the complete bipartite graph has minimum generalized distance energy among all connected bipartite graphs. Besides, for $ α\in \big(0, \frac{2n}{3n-2}\big) $, we show that the star graph has minimum generalized distance energy among all trees.

연구 동기 및 목표

• 라플라시안, 정규화 라플라시안, 부호없는 라플라시안, 거리 부호없는 라플라시안 행렬을 포함한 다양한 그래프 행렬에서 라플라시안 고유값의 분포를 조사한다.
• 더 넓은 그래프 계열에 대해 k개의 가장 큰 라플라시안 고유값의 합에 관한 브로우어의 추측을 검증한다.
• 지름 4인 트리와 최대 (9n/25)−2개의 비잎 정점만을 가진 트리에 대해 라플라시안 에너지 추측을 증명한다.
• 정규화 라플라시안 스펙트럼을 정규 그래프의 합집합에 적용하고, 유한 순환군의 거듭제곱 그래프에 적용한다.
• 이분 그래프와 트리의 스펙트럼 반경 및 일반화된 거리 에너지에 대한 상한을 유도하며, 에너지를 최소화하는 극값 그래프를 규명한다.

제안 방법

• 그래프의 구조적 성질을 이용하여 k개의 가장 큰 라플라시안 고유값의 합 S_k(G)에 대한 상한을 도출한다.
• 스펙트럼 상한과 고유값의 교차 성질을 적용하여 특정 그래프 계열에 대해 브로우어의 추측을 검증한다.
• 일반화된 거리 행렬 D_α(G) = αD(G) + (1−α)A(G)를 사용하며, 여기서 D(G)는 거리 행렬이고 A(G)는 인접 행렬이다.
• 일반화된 거리 에너지 공식 E^D_α(T) = 2 max_{1≤j≤n} {∑_{i=1}^j ∂_i(T) − (2αjW(T))/n}을 사용하며, W(T)는 위너 지수이다.
• 극값 그래프 이론과 고유값 주도화를 활용하여 일반화된 거리 에너지를 최소화하는 그래프를 규명한다.
• 스펙트럼 분해와 행렬 분석을 활용하여 합집합 및 거듭제곱 그래프의 정규화 라플라시안 스펙트럼을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브로우어의 추측, 즉 k개의 가장 큰 라플라시안 고유값의 합에 대해 어떤 그래프 계열에서 성립하며, 더 일반적인 가족으로 확장 가능한가?
• RQ2 지름 4인 모든 트리에 대해 라플라시안 에너지 추측이 성립하는가? 비잎 정점 수가 적은 트리에 대해 성립하기 위한 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ3 정규 그래프의 합집합의 정규화 라플라시안 스펙트럼은 정확히 무엇이며, 이는 유한 순환군의 거듭제곱 그래프에 어떻게 적용되는가?
• RQ4 일반화된 거리 행렬 D_α(G)의 스펙트럼 반경에 대한 상한은 무엇이며, 어떤 그래프가 일반화된 거리 에너지를 최소화하는가?
• RQ5 α의 어떤 값에서 별 그래프 S_n이 순서 n인 모든 트리 중에서 일반화된 거리 에너지를 최소화하는가?

주요 결과

• 라플라시안 에너지 추측은 지름 4인 모든 트리에 대해 완전히 증명되었다.
• 비잎 정점 수가 최대 (9n/25)−2개인 모든 트리에 대해 추측이 성립한다.
• α ∈ (0, 2n/(3n−2)) 인 경우, 순서 n인 모든 트리 중에서 별 그래프 S_n이 일반화된 거리 에너지를 최소화한다.
• α ∈ [2n/(3n−2), 1) 인 경우, S_n의 일반화된 거리 에너지는 n과 α에 의존하는 제곱근 항을 포함한 닫힌 형태의 표현식으로 주어진다.
• 정규 그래프의 합집합의 정규화 라플라시안 스펙트럼이 도출되었으며, 이는 유한 순환군의 거듭제곱 그래프의 스펙트럼을 규명하는 데 응용되었다.
• 완전 이분 그래프의 일반화된 거리 에너지가 모든 연결 이분 그래프 중에서 최소임을 보였다.