[논문 리뷰] On Dual Formulation of Gravity. II. Metric and Affine Connection

Yu. M. Zinoviev|ArXiv.org|2005. 06. 26.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 (Anti) de Sitter 공간에서 일阶 보arent Lagrangian을 통해 유도된 애프라인 접속을 주요 역할을 하는 동역학적 장으로 하는 중력의 이중성 수식을 제시한다. 2차 보정을 통해 게이지 불변성을 복원하고 계량을 해석함으로써, 결과적으로 제2계 Lagrangian은 Eddington의 1924년 액션과 일치하며, 이는 애프라인 접속 수식이 곡률 배경에서 표준 계량 중력과 이중성임을 보여준다.

ABSTRACT

In this note we construct a dual formulation of gravity where the main dynamical object is affine connection. We start with the well known first order Palatini formulation but in (Anti) de Sitter space instead of flat Minkowski space as a background. The final result obtained by solving equations for the metric is the Lagrangian written by Eddington in his book in 1924. Also there is an interesting connection with attempts to construct gravitational analog of Born-Infeld electrodynamics.

연구 동기 및 목표

• 계량이 아니라 애프라인 접속이 기본 동역학적 장이 되는 중력의 이중성 수식을 개발하는 것.
• 평탄한 공간에서의 게이지 불변성 붕괴 문제를 해결하기 위해 (Anti) de Sitter 공간을 사용함으로써 2차 질량 유사 항을 도입하는 것.
• 무질량 스핀-2 입자에 대한 이중화 절차가 질량이 있는 입자와 동일하게 진행되는 이유를 게이지 대칭성 제약 조건을 통해 설명하는 것.
• 애프라인 접속을 주요 장으로 사용하여 팔라틴 형식에서 중력의 이중성 수식으로 Eddington의 1924년 Lagrangian을 유도하는 것.
• 특히 스칼라 및 벡터 장에 대한 물질 결합의 의미를 이중 애프라인 수식에서 탐색하는 것.

제안 방법

• 대칭 텐서 $ h_{\mu\nu} $ 와 애프라인 접속 $ \Gamma_{\mu\nu}{}^\alpha $ 를 포함하는 (Anti) de Sitter 배경에 적합한 일阶 팔라틴 유형 Lagrangian에서 출발한다.
• 평탄한 민코프스키 계량과 편미분을 (A)dS 배경 계량 $ \bar{g}_{\mu\nu} $ 와 공액 미분 $ D_\mu $ 로 대체하여 곡률 보정을 도입한다.
• 애프라인 접속의 게이지 변환 규칙을 수정하고 곡률에 의존하는 보정을 포함함으로써 $ h_{\mu\nu} $ 에 대한 2차 항을 추가하여 게이지 불변성을 복원한다.
• $ h_{\mu\nu} $ 의 대수적 운동 방정식을 풀어 애프라인 접속을 통해 정의된 리치 유사 텐서 $ R_{(\mu\nu)} $ 의 함수로 표현한다.
• 해를 다시 Lagrangian에 대입하여 애프라인 접속만을 포함하는 제2계 액션을 도출한다.
• 최종적으로 유도된 Lagrangian이 애프라인 접속과 그 곡률에만 의존하는 Eddington의 1924년 액션과 일치함을 인지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계량이 아니라 애프라인 접속이 주요 동역학적 장이 되는 중력의 이중성 수식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 (Anti) de Sitter 공간을 사용할 경우, 평탄한 공간에서 실패하는 첫째 단계 Lagrangian의 게이지 불변성이 어떻게 복원되는가?
• RQ3 무질량 입자에 대한 이중화 절차가 (A)dS 공간에서 질량이 있는 입자와 동일하게 작용하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 애프라인 접속에 대한 제2계 Lagrangian이 Eddington의 1924년 액션을 재현하는가?
• RQ5 이중 애프라인 수식에서 스칼라 및 벡터 장에 대한 물질 결합은 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• (Anti) de Sitter 공간에서의 중력 이중성 수식은 애프라인 접속만을 포함하는 제2계 Lagrangian을 도출하며, 이는 Eddington의 1924년 액션과 정확히 일치한다.
• 첫째 단계 Lagrangian의 게이지 불변성은 $ h_{\mu\nu} $ 에 대한 2차 항을 추가함으로써 복원되며, 곡률 매개변수 $ \kappa $ 를 포함한 게이지 변환 규칙 보정이 수반된다.
• $ h_{\mu\nu} $ 의 해는 $ h_{\mu\nu} = \frac{1}{\kappa(d-1)}[R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\bar{g}_{\mu\nu}R] $ 로 주어지며, 여기서 $ R_{\mu\nu} $ 는 애프라인 접속으로 구성된 리치 유사 텐서이다.
• 최종 Lagrangian $ \mathcal{L}_{II} = -\frac{1}{\kappa(d-1)}[R^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R^2] + \bar{g}^{\mu\nu}(\Gamma_{\mu\nu}{}^\alpha\Gamma_\alpha - \Gamma_{\mu\alpha}{}^\beta\Gamma_{\nu\beta}{}^\alpha) $ 는 국소 애프라인 변환에 대해 불변이다.
• 일정 곡률 배경 주변의 작은 변동에 대해, Lagrangian은 $ \mathcal{L} = \sqrt{\det(\Lambda\bar{g}_{\mu\nu} + \tilde{R}_{\mu\nu})} $ 로 단순화되며, 이는 보른-인펠트 유형 중력 모델의 형태와 일치한다.
• 이중 수식에서의 물질 결합은 스칼라 장의 경우 $ R_{\mu\nu} $ 를 $ R_{\mu\nu} + \frac{1}{2}\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi $ 로 대체하고, 질량이 있는 스칼라의 경우 우주 상수를 수정하며, 벡터 장은 이중 형태에서 매우 비선형 방정식을 유도한다.