[논문 리뷰] On dualizable objects in monoidal bicategories, framed surfaces and the Cobordism Hypothesis

Piotr Pstrągowski|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 단순 이중화 가능 객체와 완전 이중화 가능 객체에 대한 일관성 정리들을 단순 이중화 쌍과 일관성 있는 완전 이중화 쌍이라는 성질 유사 구조로 제시하여 이중화 가능성과 동치임을 보인다. 프레임된 표면을 위한 확장된 다이어그램 계산법을 사용하여, 프레임된 경계 이론 이중범주를 제시하고, 이 이중범주가 일관성 있는 완전 이중화 쌍 위의 자유 대칭 이중범주와 동치임을 보여 2차원 경계 이론 가설을 증명한다.

ABSTRACT

We prove coherence theorems for dualizable objects in monoidal bicategories and for fully dualizable objects in symmetric monoidal bicategories, describing coherent dual pairs and coherent fully dual pairs. These are property-like structures one can attach to an object that are equivalent to the properties of dualizability and full dualizability. We extend diagrammatic calculus of surfaces of Christopher Schommer-Pries to the case of surfaces equipped with a framing. We present two equivalence relations on so obtained framed planar diagrams, one which can be used to model isotopy classes of framings on a fixed surface and one modelling diffeomorphism-isotopy classes of surfaces. We use the language of framed planar diagrams to derive a presentation of the framed bordism bicategory, completely classifying all two-dimensional framed topological field theories with arbitrary target. We then use it to show that the framed bordism bicategory is equivalent to the free symmetric monoidal bicategory on a coherent fully dual pair. In lieu of our coherence theorems, this gives a new proof of the Cobordism Hypothesis in dimension two.

연구 동기 및 목표

• 모노이드 이중범주 내에서 이중화 가능한 객체의 일관성 있고 대수적인 특성화를 제공한다.
• 크리스토퍼 쇼머-프라이의 다이어그램 계산법을 프레임된 표면으로 확장한다.
• 프레임된 경계 이론 이중범주의 완전한 유한 표현을 제시한다.
• 일관성과 다이어그램 계산 방법을 사용하여 2차원 경계 이론 가설의 새로운 증명을 수립한다.
• 프레임된 경계 이론 이중범주가 일관성 있는 완전 이중화 쌍 위의 자유 대칭 이중범주와 동치임을 보인다.

제안 방법

• 모노이드 이중범주 내에서 이중화 가능성과 동치인 일관성 있는 이중화 쌍의 개념을 도입한다.
• 프레임된 표면의 호모토피류와 미분구조-호모토피류를 모델링하기 위해 프레임된 평면 다이어그램 계산법을 개발한다.
• 프레임된 평면 다이어그램에 대해 두 가지 동치 관계를 정의한다: 하나는 프레임에 대한 것이고, 다른 하나는 표면의 미분구조-호모토피에 대한 것이다.
• 다이어그램 계산법에서 유도된 생성자와 관계를 사용하여 프레임된 경계 이론 이중범주의 유한 표현을 구성한다.
• 일관성 정리를 적용하여 경계 이론 가설을 두 개의 유한 표현된 대칭 이중범주 간의 비교로 환원한다.
• 이중범주에 대한 라크 모델 구조에서의 승격과 러핑 기법을 사용하여 형태와 그에 해당하는 구조 간의 동치를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모노이드 이중범주 내에서 이중화 가능성은 어떤 일관성 있고 대수적인 구조로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 호모토피류와 미분구조-호모토피류를 포괄하는 프레임된 표면에 적합한 다이어그램 계산법은 무엇인가?
• RQ3 프레임된 평면 다이어그램 계산법에서 유도된 생성자와 관계를 사용하여 프레임된 경계 이론 이중범주를 완전히 표현할 수 있는가?
• RQ4 프레임된 경계 이론 이중범주는 일관성 있는 완전 이중화 쌍 위의 자유 대칭 이중범주와 동치인가?
• RQ5 완전 이중화 가능한 객체에 대한 일관성 정리가 2차원 경계 이론 가설의 직접적 증명을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 일관성 있는 이중화 쌍의 범주에서 이중화 가능한 객체의 군대에 대한 忘却 준동형사상은 대상에 대한 전사적 동치이므로, 일관성 있는 이중화 쌍이 이중화 가능성과 동치인 성질 유사 구조임을 증명한다.
• 프레임된 표면의 프레임에 대한 관계와 표면의 미분구조-호모토피에 대한 관계를 포함하는 두 가지 동치 관계를 갖는 프레임된 평면 다이어그램을 사용하여, 프레임된 경계 이론 이중범주는 유한 표현을 갖는다.
• 프레임된 경계 이론 이중범주는 일관성 있는 완전 이중화 쌍 위의 자유 대칭 이중범주와 동치이며, 이는 2차원 경계 이론 가설에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 형태의 범주 내에서 동치와 역전이 가능한 2-세포의 승격은 구조의 유일한 러핑을 보장하며, 이는 이중범주의 유한 표현을 가능하게 한다.
• 대칭 모노이드 이중범주 내에서 완전 이중화 가능한 객체에 대한 일관성 정리는 일관성 있는 완전 이중화 쌍이 완전한 이중화 가능성과 동치임을 증명한다.
• 프레임된 표면에 대한 다이어그램 계산법은 임의의 타겟을 갖는 2차원 프레임된 위상적 장 이론의 명시적 계산과 분류를 가능하게 한다.