[논문 리뷰] On dynamics of composite entire functions and singularities

Dinesh Kumar, Sanjay Kumar|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 22.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복합 초월 전체함수의 역학적 행동을 조사하며, $f$, $g$ 및 그 합성 $f\circ g$와 $g\circ f$의 파투 집합과 특이값 간의 관계에 초점을 맞춘다. 특히 $f$와 $g$가 교환 가능할 경우 $F(f) = F(f\circ g)$가 성립하는 조건을 규명하고, 합성에 따른 임계점과 점근적 값에 대한 포함 관계를 도출하여, $f\circ g$에서의 임계점의 유계성은 $f$와 $g$에서의 유계성으로 이어지며, 피카르 예외값에 대한 제약 조건이 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the dynamical properties of transcendental entire functions and their compositions. We give several conditions under which Fatou set of a transcendental entire function $f$ coincide with that of $f\circ g,$ where $g$ is another transcendental entire function. We also prove some result giving relationship between singular values of transcendental entire functions and their compositions.

연구 동기 및 목표

• 다른 초월 전체함수 $g$와의 합성 $f\circ g$에 대해 초월 전체함수 $f$의 파투 집합이 $f\circ g$의 파투 집합과 일치하는 조건을 규명하는 것.
• $f$, $g$, 그리고 그 합성 $f\circ g$와 $g\circ f$의 특이값—임계점과 점근적 값—간의 관계를 분석하는 것.
• $f\circ g$에서의 임계점의 유계성이 $f$와 $g$의 임계 구조, 특히 피카르 예외값에 대해 어떤 제약을 가하는지 조사하는 것.
• 공액성과 교환 가능성이 $f$, $g$, 그리고 그 합성의 역학적 구조를 어떻게 유지하는지 탐구하는 것.

제안 방법

• 정규 가족과 파투 집합 및 줄리아 집합의 성질을 활용하여 합성에 의한 역학적 행동을 분석하는 것.
• 에레멘코-류비치 클래스 $\mathcal{B}$와 집합 $E(f) = \bigcup_{n\geq 0} f^n(\text{Sing}\,f^{-1})$를 적용하여 이탈 영역과 극한 함수를 연구하는 것.
• 포함 관계 수립: $f(AV(g)) \subset AV(f\circ g)$, $g(CP(f\circ g)) \subset CP(f) \cup CV(g)$, 및 $AV(f) \subset AV(f\circ g)$.
• 볼차노-바이어슈트라스 정리를 활용하여 무한한 유계 집합의 임계점에서 모순을 도출함으로써 피카르 예외값에 대한 제약 조건을 증명하는 것.
• 함수 방정식 $f \circ g = g \circ f$ (교환 가능성)를 이용하여 파투 집합의 동치성을 유도하는 것.
• 등각 공액성 $\phi \circ f = g \circ \phi$를 활용하여 다양한 함수 간의 역학적 구조를 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 교환 가능한 초월 전체함수 $f$와 $g$에 대해 $F(f) = F(f\circ g)$가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $f$와 $g$의 점근적 값과 임계점은 $f\circ g$와 $g\circ f$의 값과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 $CP(f\circ g)$의 유계성이 $CP(f)$, $CP(g)$ 및 $f$와 $g$의 임계값에 대해 어떤 제약을 가하는가?
• RQ4 $CP(f\circ g)$가 유계일 조건 하에서 $f$와 $g$가 서로에 대해 피카르 예외값이 되는 임계값을 두 개 이상 가질 수 있는가?
• RQ5 공액성과 교환 가능성은 파투 집합과 특이값과 같은 역학적 구조를 어느 정도 유지하는가?

주요 결과

• 만약 $f$와 $g$가 교환 가능한 초월 전체함수이면, $F(f\circ g)$는 $f\circ g$에 대해 완전히 불변이며, 특이값에 대한 추가 조건이 만족될 경우 $F(f) = F(f\circ g)$가 성립한다.
• $f(AV(g)) \subset AV(f\circ g)$가 성립함으로써, $g$의 점근적 값이 합성의 점근적 값으로 사라지는 것으로 나타난다.
• $g(CP(f\circ g)) \subset CP(f) \cup CV(g)$의 포함 관계는 $f\circ g$의 임계점이 $g$에 의해 $f$ 또는 $g$의 임계점 또는 임계값으로 사라지는 것을 의미한다.
• 만약 $CP(g\circ f)$가 유계이면, $CP(f)$도 유계이며, $g$는 $f$의 피카르 예외값이 될 수 있는 임계점이 최대 하나뿐일 수 있다.
• 만약 $CP(f\circ g)$가 유계이면, $CV(g)$도 유계이며, $f$는 $g$에 대해 피카르 예외값이 되는 임계값이 최대 하나뿐일 수 있다.
• 만약 $AV(f\circ g)$가 유계이면, 코로나리 2.10에 의해 $AV(f)$ 역시 유계임을 보여준다.