[논문 리뷰] On dynamics of semiconjugated entire functions

Dinesh Kumar|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 11.

Meromorphic and Entire Functions인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반공액(transcendental entire) 함수의 동적 행동을 조사하며, 반공액 사상이 파투 집합을 유지하는 조건을 설정하고, 유한 차수와 유한한 임계값 조건 하에서 복합 함수의 도함수에 대한 점점이 값의 유계성을 보장한다. 주요 기여는 하나의 함수의 파투 집합이 반공액을 통해 다른 함수의 파투 집합으로 매핑되는 조건을 특성화하는 것으로, 복합 함수에서 점점이 값의 성장 기반 유계성을 포함한다.

ABSTRACT

Let $g$ and $h$ be transcendental entire functions and let $f$ be a continuous map of the complex plane into itself with $f\circ g=h\circ f.$ Then $g$ and $h$ are said to be semiconjugated by $f$ and $f$ is called a semiconjugacy. We consider the dynamical properties of semiconjugated transcendental entire functions $g$ and $h$ and provide several conditions under which the semiconjugacy $f$ carries Fatou set of one entire function into the Fatou set of other entire function appearing in the semiconjugation. We have also shown that under certain condition on the growth of entire functions appearing in the semiconjugation, the set of asymptotic values of the derivative of composition of the entire functions is bounded.

연구 동기 및 목표

• 연속적인 사상 f가 f∘g = h∘f를 만족할 때, 반공액된 초월 전체 함수 g와 h의 동적 성질을 분석한다.
• 반공액 사상 f가 g의 파투 집합을 h의 파투 집합으로 매핑하는 조건을 규명한다.
• f와 g가 유한 차수이고 유한한 수의 임계값을 가지는 조건 하에서 복합 함수 f∘g의 도함수의 성장 및 점점이 행동을 조사한다.
• 기존의 순환 함수와 방황 영역에 대한 결과를 반공액 시스템의 더 넓은 맥락으로 확장한다.

제안 방법

• 반복의 수렴성과 정규성을 파투 집합의 구성요소에서 분석하기 위해 정규 가족과 몬텔의 정규성 기준을 활용한다.
• 에레멘코-류비치 클래스 B와 특이값의 극한점 집합 E′(f)를 적용하여 방황 영역과 쿠르트 지오바르디 집합의 상호작용을 특성화한다.
• 반공액 관계 f∘g = h∘f를 활용하여 g의 동적 성질을 h로 이전시키며, 특히 베크어 영역과 반기본 성분에 중점을 둔다.
• 정규 함수의 성질과 유한 차수의 전체 함수 이론을 활용하여 특이값과 점점이 값의 성장을 제어한다.
• 레마 2.9를 적용하여, 점점이 값이 유계인 두 전체 함수의 곱은 점점이 값이 유계임을 보인다.
• 정리 2.10을 활용하여 f와 g가 유한 차수이면 h도 유한 차수임을 확인함으로써, 도함수에 대한 유계성 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f∘g = h∘f일 때, 반공액 사상 f가 g의 파투 집합을 h의 파투 집합으로 매핑하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 f와 g가 유한 차수이고 유한한 수의 임계값을 가질 때, f∘g의 도함수의 점점이 값이 유계일 조건은 무엇인가?
• RQ3 F(g)에 베크어 영역이 존재할 경우, 이를 바탕으로 f가 이를 F(h)로 매핑할 수 있는가?
• RQ4 반공액 하에서 f∘g의 특이값과 점점이 값은 f와 g의 특이값과 점점이 값과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 순환 초월 전체 함수 f와 g가 얼마나 공통된 파투 집합을 공유하는가? 이러한 공유가 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• f가 연속적이고 개방적이며 f∘g = h∘f를 만족할 경우, f는 g의 임의의 베크어 영역을 h의 파투 집합으로 매핑한다.
• f와 g가 순환 초월 전체 함수이며, 각각의 닫힘 원판의 여집합에서 두 값을 생략할 경우, F(f) = F(g)이다.
• f와 g가 유한 차수이고 유한한 수의 임계값을 가질 경우, f∘g의 도함수는 점점이 값이 유계인 집합을 가진다.
• 레마 2.9에 의해, f와 g가 점점이 값이 유계일 경우 f∘g는 점점이 값의 유계성을 유지함을 보였다.
• f와 g의 유한 차수는 h의 유한 차수를 암시하며, 이는 h와 그 도함수의 유한 차수를 보장함으로써 특이값의 유계성을 뒷받침한다.
• 만약 (f^n)이 도메인 V에서 정규이고 f∘g = h∘f를 만족할 경우, f(V)가 두 값을 생략한다면 (h^n)은 f(V)에서 정규가 된다. 이는 f(β) ∈ J(h)일 경우 모순을 일으킨다.