[논문 리뷰] On efficient weighted integration via a change of variables

Peter Kritzer, Friedrich Pillichshammer외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 11.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^d$ 또는 $\mathbb{R}_+^d$와 같은 유계가 아닌 영역에서 가중치가 부여된 적분을 위한 효율적인 준몬테카를로(QMC) 및 스퍼스 그리드 적분을 위해 새로운 변수변환을 제안한다. 표준 누적분포함수의 역함수 기반 변환은 경계 특이성을 유도하지만, 저자들은 단위 입방체에서 유계가 아닌 영역으로 사상하는 변환 $\nu$를 설계하여, 변환된 피적분함수가 혼합 미분순서가 1인 소볼레프 공간 $W_{d,p}$에 속하게 하였다. 이는 QMC 및 스퍼스 그리드 방법에서 작은 최악의 오차를 보장한다. 주요 기여는 $\nu$에 대한 충분조건을 제시하여 유한한 근사 오차 상수 $C_{d,p}(\nu)$를 보장함으로써, $p \in [1, \infty]$에서 효과적인 적분이 가능하게 한다. 수치적 검증을 통해 기존 방법보다 성능이 뛰어나며, 특히 $p > 1$일 경우 유의미한 개선을 보였다.

ABSTRACT

In this paper, we study the approximation of $d$-dimensional $ρ$-weighted integrals over unbounded domains $\mathbb{R}_+^d$ or $\mathbb{R}^d$ using a special change of variables, so that quasi-Monte Carlo (QMC) or sparse grid rules can be applied to the transformed integrands over the unit cube. We consider a class of integrands with bounded $L_p$ norm of mixed partial derivatives of first order, where $p\in[1,+\infty].$ The main results give sufficient conditions on the change of variables $ν$ which guarantee that the transformed integrand belongs to the standard Sobolev space of functions over the unit cube with mixed smoothness of order one. These conditions depend on $ρ$ and $p$. The proposed change of variables is in general different than the standard change based on the inverse of the cumulative distribution function. We stress that the standard change of variables leads to integrands over a cube; however, those integrands have singularities which make the application of QMC and sparse grids ineffective. Our conclusions are supported by numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아닌 영역에서 가중치가 부여된 적분에 대해 표준 누적분포함수 기반 변수변환이 QMC 및 스퍼스 그리드 방법에서 효율적이지 않다는 문제를 해결하기 위해.
• 변환 $\nu$에 대해 충분한 조건을 규명하여, 변환된 피적분함수가 혼합 미분순서가 1인 소볼레프 공간 $W_{d,p}$에 속하게 하기 위해.
• QMC 및 스퍼스 그리드 규칙의 최악의 오차가 유한한 상수 $C_{d,p}(\nu)$에 의해 유 bounds 되도록 보장하여, $p \in [1, \infty]$에서 효율적인 적분이 가능하도록 하기 위해.
• 수치 실험을 통해 제안된 변환법이 표준 누적분포함수 기반 방법보다 우수함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 유계가 아닌 영역 $D^d$에서의 $d$차원 $\varrho$-가중 적분을 단위 입방체 $B^d$에서의 표준 르베그 적분으로 변환하기 위해 변수변환 $x_j = \nu(t_j)$를 적용한다. 여기서 $\nu: B \to D$는 미분 가능하고 일대일 대응인 함수이다.
• 변환된 피적분함수는 $g_{f,\nu}(\mathbf{t}) = f(\nu(t_1), \dots, \nu(t_d)) \cdot \prod_{j=1}^d \left( \varrho(\nu(t_j)) \cdot \nu'(t_j) \right)$로 정의되며, 측도 보존을 보장한다.
• 모든 $f \in F_{d,p}$에 대해 $g_{f,\nu} \in W_{d,p}$가 되도록 보장하기 위해 $\nu$에 대한 충분조건을 도출한다. 여기서 $F_{d,p}$는 혼합 1차 편도함수의 $L_p$ 노름이 유계인 함수의 공간이다.
• 분석 결과 표준 누적분포함수 기반 변환은 $p > 1$일 경우 경계 특이성을 유도하여 $C_{d,p}(\nu) = \infty$가 되며, 이는 QMC 및 스퍼스 그리드 방법의 효율성을 떨어뜨린다. 반면 제안된 $\nu$는 이러한 문제를 피한다.
• $C_{d,p}(\nu)$의 행동과 변수 부분집합에 걸친 곱 구조를 분석함으로써, 무한차원 설정과 $\gamma$-가중 공간으로의 확장을 다룬다.
• 수치 실험은 문헌에서 얻은 생성 벡터를 사용한 격자 규칙을 활용하여, 제안된 $\nu$와 표준 누적분포함수 기반 변환 간의 오차 감소 속도를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래 피적분함수가 정규성 1일 뿐인 경우에도, 변환된 피적분함수가 혼합 미분순서가 1인 소볼레프 공간 $W_{d,p}$에 속하도록 할 수 있는 변수변환을 설계할 수 있는가?
• RQ2 QMC 및 스퍼스 그리드 방법의 맥락에서 표준 누적분포함수 기반 변환은 왜 $p > 1$일 경우 실패하는가?
• RQ3 오차 상수 $C_{d,p}(\nu)$가 유한하고 작게 유지되도록 하는 변환 $\nu$에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ4 실제 적용에서 제안된 변환법은 표준 누적분포함수 기반 방법에 비해 수렴 속도와 절대 오차 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 방법은 $\gamma$-가중치를 가진 무한차원 가중 적분 문제로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 표준 누적분포함수 기반 변수변환은 $p > 1$일 경우 항상 $C_{d,p}(\nu) = \infty$를 유도하며, 이는 변환된 피적분함수의 경계 특이성으로 인해 QMC 및 스퍼스 그리드 방법이 효과적으로 작동하지 못하게 한다.
• 제안된 변수변환 $\nu$는 $f \in F_{d,p}$에 대해 $g_{f,\nu} \in W_{d,p}$를 보장하는 충분조건를 만족하며, 이는 $C_{d,p}(\nu)$가 유한하고 작게 유지됨을 보장한다. 이는 QMC 및 스퍼스 그리드 규칙의 최악의 오차를 유한하게 제한한다.
• 가중치 $\varrho(x) = e^{-x}$를 가진 $\mathbb{R}_+^d$에서의 테스트 함수 $f_d(\mathbf{x}) = \prod_{j=1}^d x_j$에 대해, $a = a^* \approx 2.4557$일 경우 표준 누적분포함수($a=1$) 또는 비최적 선택($a=1.5$)보다 오차 감소 속도가著 빠르게 나타난다.
• 차원 수 $d=3$일 때, $n=2^{15}$ 점에서 $a^*$를 사용할 경우 오차는 $2.05 \times 10^{-7}$로 감소하지만, $a=1$일 경우 $3.26 \times 10^{-3}$로 유지되어 약 3개의 오차 단위 개선이 이루어졌다.
• $d=4$일 경우, $a^*$를 사용하면 $n=2^{15}$에서 오차가 $2.60 \times 10^{-6}$로 감소하지만, 표준 방법($a=1$)은 여전히 $3 \times 10^{-4}$ 이상의 오차를 보이며, 제안된 변환의 우수성과 강건성을 입증한다.
• 이 방법은 다수준 몬테카를로 방법의 맥락에서 오차 $\ varepsilon$를 달성하기 위해 총 함수 평가 횟수 $O(\varepsilon^{-1})$로 무한차원 가중 적분을 효율적으로 근사할 수 있도록 한다.