[논문 리뷰] On electromagnetism and generalized energy-momentum tensor of the electromagnetic field in spaces with Finsler geometry

Nicoleta Voicu|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 09.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 32인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 변분법과 탄성다발 TM 위의 미분형식을 사용하여 가짜-핀슬러 시공간에서 전기역학을 수립한다. 일반화된 전자기장 텐서 F = dA를 도입하고, 시공간 이동 불변성에 기반한 노이터 정리로부터 대칭인 두 블록으로 구성된 에너지-모멘텀 텐서 T를 유도한다. 주요 기여는 기하학적이고 게이지 불변인 맥스웰 방정식의 수식화와 수평 및 수직 성분을 모두 포함하는 에너지-모멘텀 텐서의 보존 법칙이다.

ABSTRACT

By using variational calculus and exterior derivative formalism, we proposed in two previous joint papers with S. Siparov a new geometric approach for electromagnetism in pseudo-Finsler spaces. In the present paper, we provide more details, especially regarding generalized currents, the domain of integration and gauge invariance. Also, for flat pseudo-Finsler spaces, we define a generalized energy-momentum tensor (consisting of two blocks), as the symmetrized Noether current corresponding to the invariance of the field Lagrangian with respect to spacetime translations. In curved spaces, one of the blocks of the generalized energy-momentum tensor is obtained by varying the field Lagrangian with respect to the metric tensor and the other one, by varying the same Lagrangian with respect to the nonlinear connection.

연구 동기 및 목표

• 핀슬러 기하학에서 전기역학의 기하학적 수식을 개발하여 고전적 맥스웰 이론을 리만 시공간을 초월해 확장한다.
• 미분형식과 변분 원리를 사용하여 탄성다발 TM 위에서 전자기장의 정의를 내린다.
• 이방성에 기인한 영향을 반영하기 위해 수평 및 수직 성분을 포함한 일반화된 에너지-모멘텀 텐서를 구성한다.
• 시공간과 방향성(y)에 모두 의존하는 에너지-모멘텀 텐서의 보존 법칙을 수립한다.
• 기존 모델들과 대체 가능한, 게이지 불변이고 기하학적으로 일관된 핀슬러 공간에서의 전기역학을 위한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 변분법과 탄성다발 TM 위의 외부 미분 형식론을 사용하여 장 방정식을 유도한다.
• 4-포텐셜 A를 y에 대해 0차 동차인 TM 위의 수평 1-형식으로 정의한다.
• 전자기장 텐서를 F = dA로 정의하고, 맥스웰 방정식을 dF = 0 및 δF = −4π/c J♭로 수식화한다.
• 라그랑지안의 시공간 이동 불변성에 기반하여, 일반화된 에너지-모멘텀 텐서 T를 대칭화된 노이터 전류로 유도한다.
• 텐서를 두 블록으로 구성한다: gij에 대한 변분에 기반한 Tij와 N에 대한 변분에 기반한 Ti¯j.
• 이 형식을 평탄한 핀슬러 공간과 곡률이 있는 핀슬러 공간에 적용하여, T의 발산이 −1/c(FijJj + Fi¯jJ¯j)와 같음을 보이며, 보존 법칙을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 방향성에 따라 변화하는 계량이 존재하는 핀슬러 시공간에서 고전적 전기역학을 어떻게 일관적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 미분형식과 변분 원리를 사용하여 핀슬러 공간에서 전자기장과 그 방정식의 적절한 기하학적 수식은 무엇인가?
• RQ3 이방성과 보존 법칙을 유지하기 위해 핀슬러 기하학에서 에너지-모멘텀 텐서는 어떻게 일반화되어야 하는가?
• RQ4 TM 위의 일반화된 맥스웰 방정식에서 전류와 장의 수직(섬유) 성분은 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 핀슬러 기하학적 수식에서 게이지 불변성은 어떻게 나타나며, 작용과 장 방정식에서 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 일반화된 전자기장 텐서는 A가 y에 대해 0차 동차인 TM 위의 수평 1-형식일 때 F = dA로 정의되며, 이는 게이지 불변성을 보장한다.
• TM 위의 맥스웰 방정식은 dF = 0 및 δF = −4π/c J♭이며, J는 항상 div J = 0를 만족하는 TM 위의 벡터장이다.
• 평탄한 핀슬러 공간에서 일반화된 에너지-모멘텀 텐서 T는 대칭적이며 두 블록으로 구성된다: Tijdxi⊗dxj 및 Ti¯jdxi⊗dy¯j.
• 수평 블록 Tij는 이방성에 기인한 수정이 가미된 표준 에너지-모멘텀 텐서에 해당하며, 수직 블록 Ti¯j는 방향성에 의존하는 새로운 성분이다.
• 보존 법칙 div(T) = −1/c(FijJj + Fi¯jJ¯j)는 표준 연속 방정식을 일반화하며, 수평 및 수직 전류 성분의 기여를 모두 포함한다.
• 곡률이 있는 핀슬러 공간에서, Tij와 Ti¯j는 각각 계량 gij와 비선형 접속 N에 대한 작용의 독립적 변분을 통해 구해진다.