[논문 리뷰] On Elliptic Systems involving critical Hardy-Sobolev exponents

Xuexiu Zhong, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변분 방법을 사용하여 다중 임계 하디-소볼레프 지수를 가진 타원계를 연구하며, 원추 영역과 일반적인 열린 집합에서 해의 존재성, 다중성, 유일성 및 비존재성을 확립한다. 주요 기여는 가중 $ L^{2^*(s)} $ 노름과 기울기 에너지를 포함하는 이중 변수 부등식에 대한 날카운 상수와 극값 함수를 유도하는 것으로, 이는 기본 상태 해와 부호가 바뀌는 해에 응용된다.

ABSTRACT

Let $Ω\subset \R^N$ ($N\geq 3$) be an open domain which is not necessarily bounded. By using variational methods, we consider the following elliptic systems involving multiple Hardy-Sobolev critical exponents: $$\begin{cases} -Δu-λ\frac{|u|^{2^*(s_1)-2}u}{|x|^{s_1}}=κα\frac{1}{|x|^{s_2}}|u|^{α-2}u|v|^β\quad &\hbox{in}\;Ω,\\ -Δv-μ\frac{|v|^{2^*(s_1)-2}v}{|x|^{s_1}}=κβ\frac{1}{|x|^{s_2}}|u|^α|v|^{β-2}v\quad &\hbox{in}\;Ω,\\ (u,v)\in \mathscr{D}:=D_{0}^{1,2}(Ω) imes D_{0}^{1,2}(Ω), \end{cases}$$ where $s_1,s_2\in (0,2), α>1,β>1, λ>0,μ>0,κ eq 0, α+β\leq 2^*(s_2)$. Here, $2^*(s):=\frac{2(N-s)}{N-2}$ is the critical Hardy-Sobolev exponent. We mainly study the critical case (i.e., $α+β=2^*(s_2)$) when $Ω$ is a cone (in particular, $Ω=\R_+^N$ or $Ω=\R^N$). We will establish a sequence of fundamental results including regularity, symmetry, existence and multiplicity, uniqueness and nonexistence, {\it etc.} In particular, the sharp constant and extremal functions to the following kind of double-variable inequalities $$ S_{α,β,λ,μ}(Ω) \Big(\int_Ω\big(λ\frac{|u|^{2^*(s)}}{|x|^s}+μ\frac{|v|^{2^*(s)}}{|x|^s}+2^*(s)κ\frac{|u|^α|v|^β}{|x|^s}\big)dx\Big)^{\frac{2}{2^*(s)}}$$ $$\leq \int_Ω\big(| abla u|^2+| abla v|^2\big)dx$$ for $(u,v)\in {\mathscr{D}} $ will be explored. Further results about the sharp constant $S_{α,β,λ,μ}(Ω)$ with its extremal functions when $Ω$ is a general open domain will be involved.

연구 동기 및 목표

• 다중 임계 하디-소볼레프 지수를 포함하는 비선형 타원계의 해의 존재성, 다중성 및 정칙성 분석.
• 특히 원추 영역인 $ \mathbb{R}^N_+ $ 및 $ \mathbb{R}^N $에서 양의 기본 상태 해가 존재하거나 존재하지 않는 조건을 규명하는 것.
• 일반적인 열린 영역에서 관련 이중 변수 부등식에 대한 날카운 상수 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 와 그 극값 함수를 특성화하는 것.
• 임계 지수 조건 하에서 무한히 많은 부호가 바뀌는 해의 존재성을 확립하는 것.
• 포호자에프 유형의 항등식과 근사 기법을 사용하여 양의 기본 상태 해의 대칭성, 감쇠 추정 및 기하학적 구조를 탐구하는 것.

제안 방법

• 저자들은 공간 $ \mathscr{D} = D_0^{1,2}(\Omega) \times D_0^{1,2}(\Omega) $ 에서 변분 방법을 적용하여 시스템과 관련된 에너지 함수를 분석한다.
• 근사 기법을 사용하여 시스템의 정규화된 형태의 해를 구성하고, 극한을 취하여 원래 문제의 해를 복원한다.
• 근사된 시스템에 포호자에프 항등식을 적용하여 비자명한 해의 존재를 위한 필요 조건을 유도하고, 비존재 결과를 증명한다.
• 존재성 증명은 네하리 다양체 분석과 농축-콤팩트성 원리에 의한 최소 에너지 수준 추정에 기반한다.
• 날카운 상수 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 는 $ |x|^{-s} $ 가중치와 임계 지수를 포함하는 가중 소볼레브 유형 부등식에서의 최적 상수로 특성화된다.
• 절단 함수와 콤팩트성 논증(렐리히-콘드라코프 정리)을 사용하여 농축 현상을 제어하고, 약한 극한이 소멸하는 경우 모순을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 임계 하디-소볼레프 지수를 갖는 타원계가 원추 영역에서 비자명한 기본 상태 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반적인 열린 영역에서 날카운 상수 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 는 무엇이며, 그 극값 함수는 무엇인가?
• RQ3 시스템이 무한히 많은 부호가 바뀌는 해를 갖는 조건는 무엇이며, 이는 매개변수 $ \alpha, \beta, s_1, s_2 $ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 특정 매개변수 관계 하에서 양의 기본 상태 해의 유일성 또는 비존재를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 해의 대칭성, 감쇠 및 정칙성 특성은 영역 $ \Omega $ 의 기하학적 구조와 $ s_1, s_2 $ 의 값에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• $ \Omega = \mathbb{R}^N_+ $ 또는 $ \mathbb{R}^N $ 이고 임계 조건 $ \alpha + \beta = 2^*(s_2) $ 를 만족할 경우, 시스템은 양의 기본 상태 해를 갖는다.
• 날카운 상수 $ S_{\alpha,\beta,\lambda,\mu}(\Omega) $ 는 극값 함수가 양이며 대칭일 때에만 달성되며, 포호자에프 항등식을 통해 명시적인 감쇠 추정이 도출된다.
• $ s_1 = s_2 = s \in (0,2) $ 이고 임계 지수 조건 $ \alpha + \beta = 2^*(s) $ 를 만족할 경우, 무한히 많은 부호가 바뀌는 해가 존재한다.
• $ \lambda, \mu $ 가 충분히 크거나 $ \kappa $ 가 작을 경우, 포호자에프 유형 항등식을 통해 비자명한 기본 상태 해의 비존재를 증명한다.
• 근사된 시스템의 최소 에너지 수준 $ c_{\varepsilon} $ 는 $ \lim_{\varepsilon \to 0} c_{\varepsilon} \geq c_0 > 0 $ 를 만족하며, 이는 약한 극한이 소멸하지 않음을 의미하고 비자명한 해의 존재를 시사한다.
• $ s_1 \neq s_2 $ 인 경우, 근사, 에너지 추정 및 콤팩트성 논증을 통해 양의 기본 상태 해의 존재를 확립하며, 극한 해는 원래 시스템을 만족한다.