[논문 리뷰] On (Enriched) Left Bousfield Localization of Model Categories

Clark Barwick|ArXiv.org|2007. 08. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 모델 범주에서 왼쪽 보우스필드 국소화와 강화된 왼쪽 보우스필드 국소화의 존재성을 확립하며, 특정 맵들의 집합을 역으로 만들기 위해 새로운 모델 범주를 구성할 수 있는 프레임워크를 제공한다. 이 국소화에서의 필버레이션들을 특성화하고, 대칭 모노이드 모델 범주에서 호모토피 극한의 모델, 포스트니코프 타워, 그리고 호모토피-일관된 강하 조건을 만족하는 프레샤브에 대한 모델을 구성하는 데 이론을 적용한다.

ABSTRACT

I verify the existence of left Bousfield localizations and of enriched left Bousfield localizations, and I prove a collection of useful technical results characterizing certain fibrations of (enriched) left Bousfield localizations. I also use such Bousfield localizations to construct a number of new model categories, including models for the homotopy limit of right Quillen presheaves, for Postnikov towers in model categories, and for presheaves valued in a symmetric monoidal model category satisfying a homotopy-coherent descent condition.

연구 동기 및 목표

• 조합적 모델 범주 및 트랙터블 모델 범주에서 왼쪽 보우스필드 국소화의 존재성을 확립하기 위해.
• 이론을 강화된 모델 범주로 확장하여 강화된 왼쪽 보우스필드 국소화를 정의하고 존재성을 증명하기 위해.
• 특히, $H$-로컬 필버레이션들 중에서 $H$-로컬 필버런트 대상들 사이의 필버레이션에 대한 호모토피 당김인 것들을 포함해, 이러한 국소화된 모델 구조에서의 필버레이션들을 특성화하기 위해.
• 국소화 기계를 활용하여, 오른쪽 쿠일렌 프레샤브의 호모토피 극한 및 포스트니코프 타워를 위한 새로운 모델 범주를 구성하기 위해.
• 대칭 모노이드 모델 범주에 값을 갖는 프레샤브에 대해 호모토피-일관된 강하 조건을 만족하는 모델을 개발하기 위해.

제안 방법

• 조합적 모델 범주에서 왼쪽 보우스필드 국소화의 존재를 보장하는 스미스의 정리에 기반하여, 생성 코프라베이션과 순환 코프라베이션의 소규모 집합을 사용한다.
• 제어 가능한 코프라베이션과 약한 동치를 갖는 국소화의 존재를 보장하기 위해 트랙터블 모델 범주의 프레임워크를 적용한다.
• $H$-로컬 대상은 모든 $f \in H$에 대해 유도된 사상 공간 $\mathbf{R} \operatorname{Mor}_{\mathbf{M}}(f,X)$ 가 약한 동치가 되는 대상으로 정의하고, 동일한 기초 범주 위에 국소화된 모델 구조를 구성한다.
• 강화된 설정에서는 enriching 범주 $\mathbf{V}$ 내에서의 유도된 사상 대상 $\mathbf{RMor}_{\mathbf{M}}^{\mathbf{V}}(f,X)$ 를 통해 $(H/\mathbf{V})$-로컬 대상을 정의하고, 강화된 국소화의 존재성을 증명한다.
• 일부 $H$-로컬 필버레이션은 $H$-로컬 필버런트 대상들 사이의 필버레이션에 沿해 이루어진 호모토피 당김임을 특성화한다.
• 국소화 기계를 활용하여, 모델 범주들 다이어그램의 호모토피 극한, 포스트니코프 타워, 그리고 강화된 범주 내의 코일리미트 및 holim 구성에 의한 강하 범주를 위한 모델을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조합적 또는 트랙터블 모델 범주에서 임의의 맵의 집합 $H$에 대해 왼쪽 보우스필드 국소화가 존재하는가?
• RQ2 모델 범주가 대칭 모노이드 모델 범주 $\mathbf{V}$ 에 대해 강화되어 있을 경우, 왼쪽 보우스필드 국소화의 강화된 형태를 구성할 수 있는가?
• RQ3 국소화된 모델 범주에서 어떤 필버레이션이 명시적으로 특성화될 수 있는가, 특히 호모토피 당김의 관점에서?
• RQ4 국소화 기계를 활용하여 오른쪽 쿠일렌 프레샤브의 호모토피 극한을 위한 모델 범주를 구성할 수 있는가?
• RQ5 일반적인 모델 범주에서 왼쪽 보우스필드 국소화를 사용하여 포스트니코프 타워를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 조합적 또는 트랙터블 모델 범주에서 임의의 맵 집합 $H$에 대해 왼쪽 보우스필드 국소화가 존재하며, $H$-로컬 약한 동치, $H$-로컬 코프라베이션(원래 $\mathbf{M}$과 동일), 그리고 필버런트 대상은 $\mathbf{M}$에서 필버런트인 $H$-로컬 대상들로 구성된다.
• 모델 범주 $\mathbf{M}$이 대칭 모노이드 모델 범주 $\mathbf{V}$ 에 대해 강화되어 있을 경우, 강화된 왼쪽 보우스필드 국소화가 존재하며, $H$-로컬 필버레이션은 $\mathbf{V}$ 내의 유도된 사상 대상을 통해 특성화된다.
• 일부 $H$-로컬 필버레이션은 $H$-로컬 필버런트 대상들 사이의 필버레이션에 대한 호모토피 당김임이 밝혀져, 이를 실용적으로 확인할 수 있는 방법을 제공한다.
• 이 이론은 오른쪽 쿠일렌 프레샤브의 호모토피 극한을 국소화된 모델 범주 내의 극한으로서 실현한 모델을 제공한다.
• 모델 범주 내의 포스트니코프 타워는 연속적인 왼쪽 보우스필드 국소화를 통해 구성될 수 있으며, 심플리셜 집합에서의 고전적 구성의 일반화이다.
• 대칭 모노이드 모델 범주에 값을 갖는 프레샤브에 대해 호모토피-일관된 강하 조건을 만족하는 국소 모델 구조가 존재하며, 이는 강화된 국소화 기계를 통해 증명된다.