[논문 리뷰] On entropy stable temporal fluxes

Ayoub Gouasmi, Karthik Duraisamy외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 10.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 불연속 갈레르킨 스킴에서 시간 차원으로 엔트로피 안정성을 확장하기 위해 시간 인터페이스용 엔트로피-보존 및 엔트로피-안정성 플럭스를 유도함으로써 이를 달성한다. 이는 공간 플럭스와 유사하다. 또한, 시간 방향의 업윈딩이 본질적으로 엔트로피-안정적이며, 엔트로피-보존 플럭스와 정의가 양의 정부호인 소산 항으로 분해될 수 있음을 증명하여, 난류 유동의 고차원 시뮬레이션에서 향상된 안정성의 기초를 제공한다.

ABSTRACT

Entropy-stable (ES) schemes have gained considerable attention over the last decade, especially in the context of turbulent flow simulations using high-order methods. While promising because of their nonlinear stability properties, ES schemes have to address a number of issues to become practical. One of them is how much entropy should be produced by the scheme at a certain level of under-resolution. This problem has been so far studied by considering different ES interfaces fluxes in the spatial discretization only because they can be tuned to generate a certain amount of entropy. In this note, we point out that, in the context of space-time discretizations, the same applies to ES interface fluxes in the temporal direction.

연구 동기 및 목표

• 고차원 난류 유동 시뮬레이션을 위한 고차원 스킴의 시간 이산화에서 엔트로피 안정성 분석의 부족을 해결한다.
• 해상도가 부족한 시뮬레이션에서 시간 방향 엔트로피 생성이 공간 소산의 필요성을 줄일 수 있는 정도를 조사한다.
• 공간 플럭스와 동일한 프레임워크를 사용하여 히퍼볼릭 보존법에 대한 엔트로피-보존 및 엔트로피-안정성 시간 플럭스를 개발한다.
• 업윈딩이 엔트로피-보존 플럭스와 정의가 양의 정부호인 소산 항의 합으로 분해될 수 있음을 증명함으로써, 시간 방향 업윈딩이 본질적으로 엔트로피-안정적임을 입증한다.
• 특히 미세구조 스케일 모델링의 맥락에서, 공간-시간 DG 설정에서 인과성과 엔트로피 안정성 간의 상충 관계를 탐색한다.

제안 방법

• 시간을 공간과 유사한 좌표로 간주함으로써, 타드모어의 엔트로피 안정성 프레임워크를 시간 방향으로 적용한다.
• 시간 방향 엔트로피-보존 플럭스를 엔트로피 변수 공간에서 직선 경로를 따라 시간 플럭스 자코비안의 적분을 통해 도출한다.
• 시간 방향 엔트로피 안정성을 확보하기 위해 $ T^{n+rac{1}{2}} \Delta v^{n+rac{1}{2}} $ 형태의 소산 항을 도입하며, 여기서 $ T^{n+rac{1}{2}} $ 는 대칭 정부호 행렬이다.
• 시간 업윈딩($ u^{n+rac{1}{1}} = u^n $)이 엔트로피-보존 플럭스와 정의가 양의 정부호인 소산 행렬의 합과 동치임을 증명한다.
• 플럭스의 점성 형태를 사용하여 업윈딩을 엔트로피-보존 플럭스와 소산 항의 조합으로 재기록하며, 소산 행렬은 시간 자코비안의 적분으로 유도된다.
• 시간 자코비안 $ H(v) $ 가 정의가 양의 정부호임을 보이고, 점프 시 엔트로피 생성을 보장하며, 결과적으로 소산 항이 시간 은닉 미세구조 스케일 모델로 작용함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간-시간 불연속 갈레르킨 스킴에서 시간 방향으로 엔트로피-안정성 플럭스를 공간 플럭스와 유사하게 구성할 수 있는가?
• RQ2 해상도가 낮은 난류 유동 시뮬레이션에서 시간 방향 엔트로피 생성이 공간 소산의 필요성을 얼마나 줄일 수 있는가?
• RQ3 시간 방향 업윈딩은 본질적으로 엔트로피-안정적인가? 만약 그렇다면, 엔트로피-보존 및 소산 성분으로 어떻게 분해할 수 있는가?
• RQ4 비인과적 엔트로피-보존 시간 플럭스 사용이 시간 슬랩 간의 결합과 계산 비용에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ5 대규모 난류 시뮬레이션 및 미세구조 스케일 모델링 맥락에서 시간 엔트로피 안정성과 공간 엔트로피 안정성 간의 상호작용은 어떻게 이루어지는가?

주요 결과

• 시간 방향 엔트로피-보존 플럭스는 엔트로피 변수 공간에서 직선 경로를 따라 시간 플럭스 자코비안을 적분하여 도출할 수 있으며, 이는 공간 경우와 유사하다.
• 시간 방향 엔트로피-안정성 플럭스는 대칭 정부호 행렬 $ T^{n+rac{1}{2}} $ 를 갖는 소산 항 $ T^{n+rac{1}{2}} \Delta v^{n+rac{1}{2}} $ 를 추가함으로써 달성되며, 이는 비음성 엔트로피 생성을 보장한다.
• 시간 업윈딩이 엔트로피-보존 플럭스와 정의가 양의 정부호인 소산 항의 합으로 표현될 수 있음을 증명함으로써, 시간 업윈딩이 본질적으로 엔트로피-안정적임을 입증한다. 소산 행렬은 시간 자코비안의 적분으로 유도된다.
• 업윈드 플럭스 분해에서의 소산 항이 대칭 정부호 행렬임을 입증하여, 시간 업윈딩의 엔트로피 안정성을 확인한다.
• 시간 소산 항은 시간 은닉 미세구조 스케일 모델로 해석될 수 있으며, 이는 공간 미세구조 스케일 모델링과 물리적 유사성을 지닌다.
• 비인과적 엔트로피-보존 시간 플럭스는 블록-은닉 시간 이산화를 가능하게 하기 위해 시간 인터페이스에서 선택적으로 사용할 수 있으며, 이는 메모리 및 산술 강도 증가를 수반하지만 엔트로피 안정성을 유지한다.