[논문 리뷰] On epsilon factors attached to supercuspidal representations of unramified U(2,1)

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 09.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 p-진 체 F (p ≠ 2) 위의 비분비 유니타리 군 U(2,1)의 일반적 초구속 표현에 대해 에psilon 인자와 L-함수에 관한 추측을 정식화하고 증명한다. 새로운 형태의 제타 적분을 통해 이루어지며, 특정 슈바르츠 함수와 함께 새로운 형태의 제타 적분이 L-인자를 계산함을 보이고, 에psilon 인자가 q_F^{-c(π)s}의 상수배임을 보여, 캐슬먼-델리뉴의 GL(2) 이론을 U(2,1)로 일반화한다.

ABSTRACT

Let G be the unramified unitary group in three variables defined over a p-adic field F of odd resudual characteristic. Gelbart, Piatetski-Shapiro and Baruch attached zeta integrals of Rankin-Selberg type to irreducible generic representations of G. In this paper, we formulate a conjecture on L- and epsilon-factors defined through zeta integrals in terms of local newforms for G, which is an analogue of the result by Casselman and Deligne for GL(2). We prove our conjecture for the generic supercuspidal representations of G.

연구 동기 및 목표

• Casselman과 Deligne의 GL(2) 국소 새로운 형태 이론을 비분비 유니타리 군 U(2,1)로 확장하기.
• U(2,1)의 일반적 표현에 대해 새로운 형태의 제타 적분과 L-인자, 에psilon 인자 간의 관계를 규명하는 추측을 정식화하기.
• 특히 U(2,1)의 일반적 초구속 표현에 대해 이 추측을 증명하기.
• GL(2)의 경우와 유사하게, U(2,1)의 맥락에서 에psilon 인자와 도전도수 사이의 정확한 관계를 설정하기.

제안 방법

• 이전 연구에서 도입된 가군의 열린 컴act 부분군의 가족을 사용하여 U(2,1)의 기약 일반적 표현에 대해 새로운 형태를 정의한다.
• Gelbart, Piatetski-Shapiro, Baruch가 개발한, F² 위의 월러크 함수와 슈바르츠 함수를 포함하는 랭킨-셀버그 제타 적분을 활용한다.
• 새로운 형태의 공간에 대해 히케 연산자와 수준 낮추는 연산자를 도입하여 대각 행렬에서 월러크 함수 값에 대한 재귀식을 유도한다.
• 연산자 T의 히케 고유값 λ를 사용하여 새로운 형태의 제타 적분을 Z(s, W_v) = (1 - q^{-2s}) / (1 - ((λ + q²)/q²) q^{-2s})로 표현한다.
• 제타 적분의 함수방정식과 에psilon 인자의 성질을 적용하여, π가 초구속일 경우 Z(s, W_v, Φ_{N_π}) = L(s, π)임을 보인다.
• Proposition 2.14에서 유도된 바와 같이 에psilon 인자가 다항식임을 이용하여 모순을 배제하고 L-인자 계산을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 U(2,1)의 일반적 표현에 대해 특정 슈바르츠 함수와 함께 새로운 형태의 제타 적분을 통해 L-인자를 계산할 수 있는가?
• RQ2 U(2,1)의 일반적 초구속 표현 π에 대해 ε(s, π, ψ_F, ψ_E)는 GL(2)의 경우와 같이 q_F^{-c(π)s}의 상수배인가?
• RQ3 월러크 모델에서 새로운 형태의 제타 적분이 F²의 특정 격자에 대한 특성 함수와 쌍을 이루면 전체 L-인자 L(s, π)를 얻는가?
• RQ4 U(2,1)에서 새로운 형태의 공간에서의 히케 고유값은 제타 적분 값과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 추측의 타당성을 보장하는 중심 문자 조건은 무엇이며, 이는 초구속 표현에 대한 증명에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 U(2,1)의 일반적 초구속 표현 π에 대해, 새로운 형태 W_v와 슈바르츠 함수 Φ_{N_π}의 제타 적분은 L(s, π)와 같다.
• 새로운 형태의 제타 적분은 Z(s, W_v) = (1 - q^{-2s}) / (1 - ((λ + q²)/q²) q^{-2s})로 명시적으로 주어지며, 여기서 λ는 새로운 형태 공간에서의 히케 고유값이다.
• 에psilon 인자는 ε(s, π, ψ_F, ψ_E) = q^{-2N_π(s - 1/2)} L_E(1 - s, 1) / L_E(s, 1)를 만족하며, 이는 다항식 성질을 확인한다.
• 초구속 표현의 경우, 함수방정식과 에psilon 인자의 단일성 조건이 Z(s, W_v, Φ_{N_π}) = L(s, π)를 강제하여 추측을 증명한다.
• 도전도수 c(π) = N_π이며, 새로운 형태의 공간 V(N_π)는 1차원이다. 이는 GL(2) 이론을 U(2,1)로 확장한다.
• 증명은 모든 초구속 표현이 히케 연산자 방법을 적용하기 위해 필요한 중심 문자 조건을 만족함을 이용한다.