[논문 리뷰] On estimating covariances between many assets with histories of highly variable length

Robert B. Gramacy, Joo Hee Lee외 1명|ArXiv.org|2007. 10. 31.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 자산의 역사적 길이가 매우 다양할 때 금융 포트폴리오의 고차원 공분산 행렬을 추정하기 위한 방법을 제안한다. 릿지 회귀, 라소, 주성분 분석, 부분 최소 제곱 회귀와 같은 단순화된 회귀 기법을 사용하여 '큰 p 작은 n' 문제를 해결한다. 이 방법은 관측 수가 자산 수를 초과하는 경우에도 정확하고 안정적인 공분산 추정을 가능하게 하며, 오픈소스 R 패키지 monomvn에 구현되어 있다.

ABSTRACT

Quantitative portfolio allocation requires the accurate and tractable estimation of covariances between a large number of assets, whose histories can greatly vary in length. Such data are said to follow a monotone missingness pattern, under which the likelihood has a convenient factorization. Upon further assuming that asset returns are multivariate normally distributed, with histories at least as long as the total asset count, maximum likelihood (ML) estimates are easily obtained by performing repeated ordinary least squares (OLS) regressions, one for each asset. Things get more interesting when there are more assets than historical returns. OLS becomes unstable due to rank--deficient design matrices, which is called a "big p small n" problem. We explore remedies that involve making a change of basis, as in principal components or partial least squares regression, or by applying shrinkage methods like ridge regression or the lasso. This enables the estimation of covariances between large sets of assets with histories of essentially arbitrary length, and offers improvements in accuracy and interpretation. We further extend the method by showing how external factors can be incorporated. This allows for the adaptive use of factors without the restrictive assumptions common in factor models. Our methods are demonstrated on randomly generated data, and then benchmarked by the performance of balanced portfolios using real historical financial returns. An accompanying R package called monomvn, containing code implementing the estimators described herein, has been made freely available on CRAN.

연구 동기 및 목표

• 자산 수익률 역사가 크게 다를 때 대규모 포트폴리오의 공분산 행렬 추정 문제를 해결한다.
• 일반 최소제곱법(O coef)이 설계 행렬의 질서가 떨어져서 실패하는 다변량 정규 모델에서 발생하는 '큰 p 작은 n' 문제를 극복한다.
• 금융 데이터에서 단조로운 누락 데이터가 있는 상황에서 계산이 가능하고 실용적인 공분산 추정 방법을 개발한다.
• 제한적인 요인 모델 가정 없이 외부 요인(예: 시장, 시가, 가치 요인)을 적응적으로 통합할 수 있도록 한다.
• 실제 금융 데이터에서 역사가 불완전한 상황에서도 실용적이고 확장 가능한 포트폴리오 리스크 모델링 솔루션을 제공한다.

제안 방법

• 단조로운 누락 패턴을 사용하여 가능도를 인수분해하여 다변량 정규성 하에서 최대우도 추정을 가능하게 한다.
• 일반 최소제곱법(O coef)을 대체하여 릿지 회귀, 라소, 주성분 분석, 부분 최소 제곱 회귀와 같은 단순화된 회귀 기법을 사용하여 고차원 설정에서 추정을 안정화시킨다.
• 자산 수가 관측 수를 초과할 경우 차원을 줄이고 수치적 안정성을 향상시키기 위해 기저변환 기법을 적용한다.
• 외부 요인을 데이터 기반으로 요인과 자산 수익률 간의 의존성 선택이 가능한 방식으로 적응적으로 통합한다.
• CRAN에 공개된 오픈소스 R 패키지 monomvn에 이 방법을 구현하여 재현 가능하고 확장 가능한 추정을 가능하게 한다.
• 부트스트랩 리샘플링을 사용하여 추정된 공분산 행렬의 변동성과 포트폴리오 성과에 미치는 영향을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자산 수익률 역사가 매우 다양할 때 고차원 금융 포트폴리오의 공분산 행렬을 어떻게 신뢰성 있게 추정할 수 있는가?
• RQ2 자산 수가 관측 수를 초과할 경우 일반 최소제곱법(O coef)을 통한 표준 최대우도 추정의 한계는 무엇인가?
• RQ3 릿지 회귀, 라소, 주성분 분석과 같은 단순화된 회귀 기법이 단조로운 누락 데이터가 있는 상황에서 추정 정확도와 해석 가능성에 기여할 수 있는가?
• RQ4 전통적인 요인 모델에서 흔히 사용되는 조건부 독립 가정을 강요하지 않고 외부 요인을 공분산 추정에 어떻게 통합할 수 있는가?
• RQ5 제안된 추정기들이 실제 금융 수익률 데이터에서 구성된 균형 포트폴리오의 성능을 어느 정도 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 자산 수가 관측 수를 초과하는 경우에도 공분산 행렬의 안정적이고 정확한 추정을 가능하게 하여 '큰 p 작은 n' 문제를 극복한다.
• 릿지 회귀, 라소, 주성분 분석과 같은 단순화된 회귀 기법은 고차원 설정에서 O coef에 비해 추정 정확도와 해석 가능성 면에서 뚜렷한 향상을 보인다.
• 이 방법은 임의로 길이가 다를 수 있는 데이터셋을 효과적으로 처리할 수 있어, 자산들이 다른 시점에 상장되는 실제 금융 데이터에 적합하다.
• 실제 수익률 데이터를 대상으로 한 실증 벤치마킹 결과, 제안된 추정기 기반 포트폴리오가 O coef 기반 포트폴리오에 비해 리스크 조정 수익률 측면에서 뛰어난 성능을 보였다.
• R 패키지 monomvn은 확장 가능하고 오픈소스로 구현된 추정기의 구현을 제공하여 재현 가능한 연구와 포트폴리오 관리 분야의 실용적 적용을 가능하게 한다.
• 부트스트랩 분석 결과, 공분산 행렬의 추정 변동성이 포트폴리오 성질에 영향을 미치며, 평균-분산 최적화에서 불확실성 정량화의 중요성을 강조한다.