[논문 리뷰] On Estimating Maximum Matching Size in Graph Streams

Sepehr Assadi, Sanjeev Khanna외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 16.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 64

한 줄 요약

본 논문은 그래프 스트림에서 최대 매칭 크기 추정에 대해 연구하고, 삽입 전용 및 동적 스트림에 대한 새로운 상한/하한을 제시하며 결과를 행렬 랭크와 연결한다.

ABSTRACT

We study the problem of estimating the maximum matching size in graphs whose edges are revealed in a streaming manner. We consider both insertion-only streams and dynamic streams and present new upper and lower bound results for both models. On the upper bound front, we show that an $α$-approximate estimate of the matching size can be computed in dynamic streams using $\widetilde{O}({n^2/α^4})$ space, and in insertion-only streams using $\widetilde{O}(n/α^2)$-space. On the lower bound front, we prove that any $α$-approximation algorithm for estimating matching size in dynamic graph streams requires $Ω(\sqrt{n}/α^{2.5})$ bits of space, even if the underlying graph is both sparse and has arboricity bounded by $O(α)$. We further improve our lower bound to $Ω(n/α^2)$ in the case of dense graphs. Furthermore, we prove that a $(1+ε)$-approximation to matching size in insertion-only streams requires RS$(n) \cdot n^{1-O(ε)}$ space; here, RS${n}$ denotes the maximum number of edge-disjoint induced matchings of size $Θ(n)$ in an $n$-vertex graph. It is a major open problem to determine the value of RS$(n)$, and current results leave open the possibility that RS$(n)$ may be as large as $n/\log n$. We also show how to avoid the dependency on the parameter RS$(n)$ in proving lower bound for dynamic streams and present a near-optimal lower bound of $n^{2-O(ε)}$ for $(1+ε)$-approximation in this model. Using a well-known connection between matching size and matrix rank, all our lower bounds also hold for the problem of estimating matrix rank. In particular our results imply a near-optimal $n^{2-O(ε)}$ bit lower bound for $(1+ε)$-approximation of matrix ranks for dense matrices in dynamic streams, answering an open question of Li and Woodruff (STOC 2016).

연구 동기 및 목표

• 스트리밍 그래프에서 최대 매칭 크기 추정 연구의 필요성을 제고하고, 추정과 정확한 근사화를 구분한다.
• 동적 스트림과 삽입 전용 스트림 모두에서 alpha-근사 크기 추정의 상한을 제공한다.
• 그래프의 다양한 희소성 및 밀도 영역에서 alpha-근사 크기 추정의 하한을 증명한다.
• 거의 최적의 (1+epsilon) 추정에 대해 거의 제곱에 해당하는 하한을 확립하고, 결과를 Tutte 행렬을 통해 행렬 랭크와 연결한다.

제안 방법

• 단일 패스 스트리밍 알고리즘을 개발하여 동적 스트림에서 공간 ~n^2/alpha^4로 alpha-근사 추정치를, 삽입 전용 스트림에서 공간 ~n/alpha^2로 추정치를 계산한다.
• 이 추정 경계가 스트림에서 매칭의 추정과 전체 근사를 분리함을 보인다.
• Boolean Hidden Hypermatching 문제로부터의 축소를 활용하여 추정에 대한 공간 하한을 도출한다.
• 정보 이론 도구(엔트로피, 상호정보, Fano 부등식)를 적용하여 하한을 얻는다.
• 최대 매칭 크기와 행렬 랭크(Tutte 행렬) 간의 연결을 이용해 하한을 랭크 추정으로 확장한다.
• RS(n) 기반 하한과 그것이 거의 선형 공간 알고리즘에 주는 시사점을 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 스트림에서 최대 매칭 크기를 추정하는 데 필요한 공간과 정확도 간의 무게 균형은 무엇인가?
• RQ2 삽입 전용 및 동적 스트림에서 alpha-근사 크기 추정기가 alpha-근사 매처보다 적은 공간을 필요로 하는가?
• RQ3 (1+epsilon)-근사로 매칭 크기를 추정하는 데 필요한 공간의 하한은 삽입 전용 및 동적 스트림에서 무엇인가?
• RQ4 RS(n) 기반 하한이 밀집 그래프에서 거의 최적의 추정의 실현 가능성에 어떠한 영향을 미치는가?
• RQ5 이 결과가 Tutte 행렬 연결을 통한 행렬 랭크 추정으로 어떻게 번역되는가?

주요 결과

• 동적 스트림에서 최대 매칭 크기의 alpha-근사 추정은 공간 ~O(n^2/alpha^4)로, 삽입 전용 스트림에서는 공간 ~O(n/alpha^2)로 계산할 수 있다.
• 매칭 크기의 추정은 alpha-근사 매칭을 찾는 것보다 증명상으로 더 쉽다고 할 수 있으며, 거의 최적 정확도에서는 두 공간 요구가 수렴한다.
• 동적 스트림에서 매칭 크기 추정을 위한 임의의 alpha-근사 알고리즘은 적어도 Omega(sqrt(n)/alpha^2.5) 비트가 필요하고, 밀집 그래프의 경우 더 강한 하한(Omega(n/alpha^2))이 있다.
• 삽입 전용 스트림에서 거의 최적의 (1+epsilon) 추정에 대한 하한은 Omega(RS(n) * n^{1-O(epsilon)})이고, 동적 스트림에서는 Omega(n^{2-O(epsilon)})로 모델에 따라 다르다.
• 결과는 Tutte 행렬 연결을 통한 밀집 행렬의 행렬 랭크에 대한 (1+epsilon)-근사에 대해 거의 제곱에 해당하는 공간 하한을 시사한다.