[논문 리뷰] On evaluation of integrals involving Bessel functions

D. Babusci, G. Dattoli|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 03.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자장론에서 중요한 Bessel 함수, 지수함수, 로그함수 및 그 곱으로 이루어진 정적분을 평가하기 위한 기호적 연산자 방법을 제안한다. 우mb라 계산을 통해 Bessel 함수를 형식적 지수함수로 간주함으로써, 피카르-피아노-피아노 적분과 같은 복잡한 적분을 닫힌 형태로 평가할 수 있으며, 결과는 감마함수와 다이감마함수로 표현된다.

ABSTRACT

We introduce a symbolic method for the evaluation of definite integrals containing combinations of various functions, including exponentials, logarithm and products of Bessel functions of different types. The method we develop is naturally suited for the evaluation of integrals associated with specific Feynman diagrams.

연구 동기 및 목표

• Bessel 함수, 지수함수, 로그함수를 포함한 적분을 체계적으로 평가하기 위한 기호적 접근법을 개발하기 위해.
• 같은 차수의 무한대를 빼어 유한한 결과를 도출함으로써, 수렴하지 않는 적분 문제를 해결하기 위해.
• 다른 유형의 Bessel 함수 곱과 맥도널드 함수, 뉴먼 함수로 이 방법을 확장하기 위해.
• 양자장론에서 파인만 도형 진폭과 관련된 적분을 효율적으로 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 계산 대수 시스템을 이용한 자동 기호 구현을 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• Bessel 함수를 형식적 지수함수로 표현하기 위해 $\hat{c}^\mu \varphi(0) = \varphi(\mu) = \frac{1}{\Gamma(\mu+1)}$ 로 정의된 우mb라 연산자 $\hat{c}$ 를 사용한다.
• 항등식 $J_\nu(x) = \left(\frac{x}{2}\hat{c}\right)^\nu \exp\left\{-\hat{c}\left(\frac{x}{2}\right)^2\right\} \varphi(0)$ 를 적용하여 Bessel 함수를 대수적으로 표현한다.
• 수렴하지 않는 적분을 정규화하기 위해 $\lim_{\nu \to -1} \int x^\nu dx = \ln x$ 의 극한 절차를 사용하여 로그 항을 처리한다.
• Macdonald 함수는 $K_n(x) = \frac{\pi}{2} \lim_{\nu \to n} \frac{I_{-\nu}(x) - I_\nu(x)}{\sin(\nu\pi)}$ 를 통해 확장하며, 이는 우mb라 연산자를 이용해 재구성한다.
• Bessel 함수 곱을 위해 일반화된 연산자 $\hat{d}$ 를 도입하여 $J_\mu(ax)J_\nu(bx)$ 를 표현함으로써 급수 표현식을 도출한다.
• 일반화된 하이퍼기하함수 유형 함수를 사용하여 $\int_0^\infty x^\alpha J_\mu(ax)J_\nu(bx) dx$ 와 같은 적분의 닫힌 형태 표현식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $x^\nu$ 를 포함한 수렴하지 않는 적분을 정규화하여 유한한 결과, 예를 들어 $\ln x$ 를 도출할 수 있는가?
• RQ2 기호적 연산자를 통해 Bessel 함수를 기본 함수로 간주하여 적분 평가를 단순화할 수 있는가?
• RQ3 $\int_0^\infty x^\mu J_\lambda(px) \ln(bx) dx$ 의 닫힌 형태 표현식은 무엇인가?
• RQ4 다른 유형의 Bessel 함수 곱을 어떻게 기호적으로 적분할 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 양자장론에서 맥도널드 함수와 뉴먼 함수를 포함한 적분으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 정규화를 통해 $\int_0^\infty x^\mu e^{-a x^2} \ln(bx) dx = \frac{1}{4\sqrt{a^{\mu+1}}} \Gamma\left(\frac{\mu+1}{2}\right) \left[\ln\left(\frac{b^2}{a}\right) + \psi\left(\frac{\mu+1}{2}\right)\right]$ 를 도출하였다.
• 기호적 방법을 통해 $A_\lambda(p,b) = \int_0^\infty J_\lambda(px) \ln(bx) dx = \frac{1}{p} \left[\ln\left(\frac{2b}{p}\right) + \psi\left(\frac{\lambda+1}{2}\right)\right]$ 를 얻었다.
• 곱 $J_\mu(ax)J_\nu(bx)$ 는 $\left(\frac{a x}{2}\right)^\mu \left(\frac{b x}{2}\right)^\nu \exp\left\{-\hat{d} \left(\frac{x}{2}\right)^2\right\} \varphi_{\mu,\nu}(0;a,b)$ 로 표현되어 체계적인 적분이 가능해졌다.
• 적분 $\Omega_{\alpha,\mu,\nu}(a,b) = \int_0^\infty x^\alpha J_\mu(ax)J_\nu(bx) dx$ 는 $2^\alpha a^\mu b^\nu \Gamma\left(\frac{\alpha+\mu+\nu+1}{2}\right) \varphi_{\mu,\nu}\left(-\frac{\alpha+\mu+\nu+1}{2};a,b\right)$ 로 평가되었다.
• 이 방법을 통해 $\Xi_{\alpha,\mu,\nu}(a,b) = \int_0^\infty x^\alpha J_\mu(ax)Y_\nu(bx) dx$ 는 $\Xi = \frac{1}{\sin(\nu\pi)} \left[ \cos(\nu\pi)\Omega_{\alpha,\mu,\nu} - \Omega_{\alpha,\mu,-\nu} \right]$ 를 사용하여 성공적으로 평가되었다.
• 트리코미-Bessel 함수 $C_\nu(x)$ 는 $\hat{c}^\nu e^{-\hat{c}x} \varphi(0)$ 로 표현되며, 그 적분은 $\int_0^\infty C_\nu(x) dx = \frac{1}{\Gamma(\nu)}$ 와 $\int_0^\infty x^\mu C_\nu(x^2) dx = \frac{1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{\mu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\nu - \frac{\mu-1}{2}\right)}$ 로 평가되었다.