[논문 리뷰] On existence and uniqueness for non-autonomous parabolic Cauchy problems with rough coefficients

Pascal Auscher, Sylvie Monniaux외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 14.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $L^p$ 공간에서 $1 \leq p \leq \infty$ 인 비자기적 포물형 코시 문제에 대해, 뚜렷하지만 유계 측정 가능 계수를 가진 경우 존재성과 유일성을 확립한다. 이는 케니그-피퍼의 영감을 받은 새로운 포물형 최대함수 기법과 텐트 공간에서의 최대 정규성에 기반한다. 이는 복소수 또는 계수 시스템의 경우에도 고전적 최대원리에 의존하지 않고, 임의의 $L^p$ 초기 자료에 대해 유일성을 입증하며, 시간에 대한 유계 변동성 조건 하에 $p < 2$ 에도 확장된 이전 결과들을 넘어서는 것이다.

ABSTRACT

We consider existence and uniqueness issues for the initial value problem of parabolic equations $\partial_{t} u = { m div} A abla u$ on the upper half space, with initial data in $L^p$ spaces. The coefficient matrix $A$ is assumed to be uniformly elliptic, but merely bounded measurable in space and time. For real coefficients and a single equation, this is an old topic for which a comprehensive theory is available, culminating in the work of Aronson. Much less is understood for complex coefficients or systems of equations except for the work of Lions, mainly because of the failure of maximum principles. In this paper, we come back to this topic with new methods that do not rely on maximum principles. This allows us to treat systems in this generality when $p\geq 2$, or under certain assumptions such as bounded variation in the time variable (a much weaker assumption that the usual Hölder continuity assumption) when $p< 2$. We reobtain results for real coefficients, and also complement them. For instance, we obtain uniqueness for arbitrary $L^p$ data, $1\leq p \leq \infty$, in the class $L^\infty(0,T; L^p({\mathbb{R}}^n))$. Our approach to the existence problem relies on a careful construction of propagators for an appropriate energy space, encompassing previous constructions. Our approach to the uniqueness problem, the most novel aspect here, relies on a parabolic version of the Kenig-Pipher maximal function, used in the context of elliptic equations on non-smooth domains. We also prove comparison estimates involving conical square functions of Lusin type and prove some Fatou type results about non-tangential convergence of solutions. Recent results on maximal regularity operators in tent spaces that do not require pointwise heat kernel bounds are key tools in this study.

연구 동기 및 목표

• 비자기적 포물형 코시 문제에서 뚜렷한 계수를 가진 경우, 특히 최대원리가 실패하는 복소수 또는 계수 시스템 계수에 대해 오랫동안 미해결된 문제를 해결하기 위해.
• 계수 행렬 $A$에 대한 최소한의 정규성 조건 하에 $1 \leq p \leq \infty$ 인 $L^p$ 공간에서의 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 지역적 정규성 또는 점별 열핵 바OUNDS에 의존하지 않는 새로운 유일성 접근법을 개발하기 위해, 케니그-피퍼 최대함수의 포물형 변형을 사용하기 위해.
• 에너지 해와 전파자에 대한 이전 결과들을 통합하고 확장하기 위해, 특히 시스템과 $p \geq 2$ 에 대해, $p < 2$ 에 대한 새로운 추정치를 제공하기 위해.

제안 방법

• 비자기적 포물형 케니그-피퍼 최대함수를 도입하여 비접촉 최대함수를 제어하고, 최대원리에 의존하지 않고 유일성을 증명하기 위해.
• 에너지 공간 $\dot{W}(0,\infty)$ 내에서 전파자를 구성하여 이전의 구성 방법을 일반화하고, $L^2$ 기반 해에 대한 사전 추정치를 가능하게 하기 위해.
• 점별 열핵 바OUNDS가 필요 없이 최근의 텐트 공간에서의 최대 정규성 결과를 사용하여, $A$에 대한 최소한의 가정 하에 분석이 가능하도록 하기 위해.
• 역 헬더 추정치와 전파자의 커널 바OUNDS를 확립하여, $L^p$ 유계성에 의해 제곱함수와 최대함수와 연결하기 위해.
• 비접촉 수렴에 대한 패투 유형 결과를 적용하여, $C_0(\mathbb{R}^n)$ 및 $M(\mathbb{R}^n)$ 내의 쌍대성과 근사화를 사용하기 위해.
• 시간 절단과 절단된 최대함수를 통해 국소화된 추정치를 제공하여, $L^p$ 노름과 $L^p$ 기반 제곱함수를 제어할 수 있도록 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자기적 포물형 시스템에서 $p < 2$ 인 $L^p$ 초기 자료에 대해 유일성이 확립될 수 있는가?
• RQ2 최대원리나 해의 점별 정규성에 의존하지 않고 존재성과 유일성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 케니그-피퍼 최대함수를 포물형 설정에 어떻게 적응시켜 비접촉 최대함수를 제어할 수 있는가?
• RQ4 점별 열핵 바OUNDS가 없을 경우, 텐트 공간 최대 정규성이 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 계수 행렬에 대해 시간에 대해 유계 변동성을 갖는 조건 하에 $p \geq 2$ 와 $p < 2$ 에서 $L^p$ 잘 정의됨을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 $L^p$ 초기 자료 $1 \leq p \leq \infty$ 에 대해, 클래스 $L^\infty(0,T; L^p(\mathbb{R}^n))$ 내에서 유일성이 성립하며, 아론슨이 남긴 미해결 문제를 해결한다.
• $p \geq 2$ 에서는 균일 타원성과 $A$의 유계 측정 가능성 조건 하에 복소수 계수 시스템에 대해 잘 정의됨이 입증된다.
• $p < 2$ 에서는 $A$가 시간에 대해 유계 변동성 $ olinebreak\text{BV}(0,T; L^\infty)$ 를 갖는 더 약한 조건 하에 유일성이 성립한다.
• 논문은 $1 \leq p < \infty$ 에서 비접촉 최대함수가 제곱함수에 의해 $L^p$ 내에서 제어되며, 반대로 $p \in [1,2)$ 에서는 그 반대도 성립함을 증명한다.
• 패투 유형 결과가 입증된다: $u$ 가 $L^\infty(L^1)$ 내의 전역 약한 해이면, $\lim_{t \to 0^+} u(t, \cdot)$ 는 $M(\mathbb{R}^n)$ 내에서 약한-* 수렴하며 초기 측도 $\mu$ 와 같다.
• $L^1$ 초기 자료에 대해, 해 $u$ 는 $C_0((0,\infty), L^1)$ 내에 있으며 $t \to 0^+$ 일 때 $\mu$ 로 약한-* 수렴하며, $u(t, \cdot) = \Gamma(t,0)\mu$ 를 만족한다.