[논문 리뷰] On Existence and Uniqueness of Second Order Fully Nonlinear PDEs with Caputo time fractional derivatives

Tokinaga Namba|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 09.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 1보다 작은 순서의 Caputo 시간 분수도함수를 갖는 두 번째 차수의 완전 비선형 PDE에 대해 점도 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 비교 원리와 Perron의 방법을 사용하여, 각각 강한 Dirichlet 조건과 점도 의미의 Neumann 경계 조건을 갖는 Cauchy-Dirichlet 및 Cauchy-Neumann 문제에 대해 유일한 해 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

Initial-boundary value problems for second order fully nonlinear PDEs with Caputo time fractional derivatives of order less than one are considered in the framework of viscosity solution theory. Associated boundary conditions are Dirichlet and Neumann, and they are considered in the strong sense and the viscosity sense, respectively. By a comparison principle and Perron's method, unique existence for the Cauchy-Dirichlet and Cauchy-Neumann problems are proved.

연구 동기 및 목표

• 1보다 작은 순서의 Caputo 시간 분수도함수를 포함하는 두 번째 차수의 완전 비선형 PDE에 대해 해의 존재성과 유일성을 다루는 것.
• Dirichlet 및 Neumann 경계 조건의 두 경우에 대해 초기-경계값 문제를 제작하고 분석하는 것.
• 완전 비선형 PDE의 맥락에서 Caputo 분수도함수를 포함한 점도 해 이론을 확장하는 것.
• Cauchy-Dirichlet 및 Cauchy-Neumann 문제에 대해 유일한 해 존재성을 증명하기 위해 비교 원리 수립 및 Perron의 방법 적용

제안 방법

• 비선형성과 부드러움의 부족을 다루기 위해 점도 해 이론을 적용한다.
• 점도 해의 유일성을 보장하기 위해 분수도함수를 갖는 PDE에 대해 비교 원리를 수립한다.
• 모든 하위해가 경계 조건을 만족하는 점에서의 상한으로서 해를 구성하기 위해 Perron의 방법을 적용한다.
• 경계 조건은 하이브리드 방식으로 다루어지며, Dirichlet 조건은 강한 의미로, Neumann 조건은 점도 의미로 처리된다.
• 분수도함수의 순서 α ∈ (0,1)을 갖는 시간 분수 PDE의 맥락에서 분석이 수행된다.
• 헤시안과 기울기의 일반적이고 비선형적인 의존성을 갖는 완전 비선형 PDE에 대해 프레임워크가 허용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1보다 작은 순서의 Caputo 시간 분수도함수를 갖는 두 번째 차수의 완전 비선형 PDE에 대해 점도 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 분수도함수를 갖는 PDE의 맥락에서 Dirichlet 및 Neumann 경계 조건은 점도 해의 맥락에서 어떻게 일관되게 제작할 수 있는가?
• RQ3 이 분수도함수 PDE 설정에서 점도 해의 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비선형 시간 분수 PDE에 대해 비교 원리를 Caputo 도함수로 확장할 수 있는가?
• RQ5 Perron의 방법은 이러한 유형의 초기-경계값 문제에 대해 해를 구성하는 데 적용 가능한가?

주요 결과

• 고려된 완전 비선형 시간 분수 PDE의 클래스에 대해 비교 원리가 수립되어 점도 해의 유일성을 보장한다.
• 강한 의미의 Dirichlet 경계 조건이 적용된 Cauchy-Dirichlet 문제에 대해 유일한 점도 해가 존재한다.
• 점도 의미의 Neumann 경계 조건이 해석된 Cauchy-Neumann 문제에 대해 유일한 점도 해가 존재한다.
• Perron의 방법은 경계 조건을 만족하는 모든 하위해의 점별 상한으로서 고유한 해를 성공적으로 구성한다.
• 결과적으로 점도 해 이론이 혼합 경계 조건을 갖는 완전 비선형 PDE에 대해 Caputo 시간 분수도함수를 포함하도록 확장된다.