[논문 리뷰] On exponential functionals, harmonic potential measures and undershoots of subordinators

Larbi Alili, Wissem Jedidi외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 18.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 하위정렬의 지수적 기능 $ I $ 의 분포와 하위정렬의 조화 잠재 측도 사이의 직접적 연결을 확립하며, $ \log I $ 가 무한히 나누어떨어지는 데 필요한 필요조건과 충분조건을 레비 측도의 용어로 제시한다. 무한 곱을 통해 $ \log I $ 와 $ \log R $ 의 모멘트 생성 함수를 유도하고, 나머지 랜덤 변수 $ R $ 이 하위정렬의 마지막 통과 시간들의 무한 곱으로 표현됨을 특성화한다.

ABSTRACT

We establish a link between the distribution of an exponential functional I and the undershoots of a subordinator, which is given in terms of the associated harmonic potential measure. This allows us to give a necessary and sufficient condition in terms of the Lévy measure for the exponential functional to be multiplicative infinitely divisible. We then provide a formula for the moment generating function of an exponential functional $I$ and the so called remainder random variable $R$ associated to it. We provide a realization of the remainder random variable $R$ as an infinite product involving independent last position random variables of the subordinator. Some properties of harmonic measures are obtained and some examples are provided.

연구 동기 및 목표

• 하위정렬의 지수적 기능 $ I $ 의 분포와 하위정렬의 조화 잠재 측도 사이의 연결을 확립하는 것.
• 레비 측도의 용어로 $ \log I $ 가 무한히 나누어떨어지기 위한 필요 및 충분 조건을 도출하는 것.
• $ \log I $ 와 $ I $ 와 관련된 나머지 변수 $ \log R $ 의 모멘트 생성 함수에 대한 명시적 공식을 제공하는 것.
• 나머지 랜덤 변수 $ R $ 이 하위정렬의 독립적인 마지막 통과 시간들의 무한 곱으로 표현됨을 실현하는 것.
• $ \log I $ 와 $ \log R $ 의 레비 측도를 특성화하고, 조화 잠재 측도의 성질을 탐색하는 것.

제안 방법

• 하위정렬의 조화 잠재 측도(h.p.m.)를 사용하여 $ I $ 의 분포와 하위정렬의 과도 사이의 관계를 설정하는 데 핵심 도구로 활용한다.
• 레비-킨친 표현식과 라플라스 지수 $ \phi(\lambda) $ 를 적용하여 $ \log I $ 와 $ \log R $ 의 모멘트 생성 함수를 $ \phi $ 를 포함하는 무한 곱으로 표현한다.
• 등식 $ IR \stackrel{d}{=} \mathbf{e} $ 를 사용하여 모멘트 공식을 도출하고 $ R $ 을 특성화한다. 여기서 $ \mathbf{e} $ 는 표준 지수 분포이다.
• 시간-공간 역행과 포아송 점 과정을 통해 하위정렬의 h.p.m. 를 유도하며, 특히 비율과 유한한 레비 측도를 가진 경우에 초점을 맞춘다.
• 프리스테르트 공식과 하위정렬의 재생 구조를 활용하여 h.p.m. 를 첫 번째 통과 시간을 포함하는 기대값의 합으로 표현한다.
• 감마 및 일반화된 감마 복합 분포의 알려진 항등식을 적용하여 $ \log R $ 의 레비 측도를 한쪽 방향 린니크 분포와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위정렬의 조화 잠재 측도와 그 지수적 기능 $ I $ 의 분포 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ2 레비 측도에 어떤 조건이면 $ \log I $ 가 무한히 나누어떨어지는가?
• RQ3 $ \log I $ 와 $ \log R $ 의 모멘트 생성 함수는 라플라스 지수 $ \phi $ 를 포함하는 무한 곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 나머지 랜덤 변수 $ R $ 은 어떻게 하위정렬의 마지막 통과 시간들의 무한 곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 $ \log I $ 와 $ \log R $ 의 레비 측도는 무엇이며, 한쪽 방향 린니크 분포와 같은 알려진 분포와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 논문은 $ \log I $ 가 무한히 나누어떨어지기 위한 필요 및 충분 조건이 하위정렬의 레비 측도 $ \Pi $ 가 조화 잠재 측도를 포함하는 특정 조건을 만족함을 입증한다.
• $ \log I $ 의 모멘트 생성 함수는 다음과 같은 무한 곱으로 주어진다: $ \mathbf{E}[e^{\lambda \log I}] = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\phi(n)} $, 마찬가지로 $ \log R $ 에 대해서도 $ \mathbf{E}[e^{\lambda \log R}] = \prod_{n=1}^{\infty} \phi(n) $ 로 표현된다.
• 나머지 랜덤 변수 $ R $ 은 하위정렬의 독립적인 마지막 통과 시간들의 무한 곱으로 표현 가능하며, 감마 변수에 대한 알려진 항등식을 확장한다.
• 스테이블 하위정렬 가정 하에 $ \log I $ 의 레비 측도는 밀도가 $ \frac{e^x}{|x|(1-e^x)} \left( (1-\alpha) + \alpha \mathbf{E}[1 - e^{-q(-x)^\alpha (S^\alpha_1)^{-\alpha}}] \right) $ 와 비례하는 형태를 가지며, $ x < 0 $ 에서 성립한다.
• $ \log R $ 의 레비 측도는 한쪽 방향 린니크 랜덤 변수의 분포에 대해 절대 연속이며, 이 두 클래스 간의 새로운 연결 고리를 확립한다.
• 라플라스 지수 $ \phi(\lambda) = \lambda + c(1 - (1+\lambda)^{-\beta}) $ 를 가진 하위정렬에 대해, 조화 잠재 측도는 $ \left(1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c^n x^{n(1+\beta)} \Gamma(n\beta)}{n \Gamma(n(1+\beta))} \right) e^{-cx} x^{-1} dx $ 로 명시적으로 계산된다.