[논문 리뷰] On Extended Boundary Sequences of Morphic and Sturmian Words

Michel Rigo, Manon Stipulanti외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

semigroups and automata theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 형태어적 및 슈르미언 단어의 ℓ-경계 수열을 조사하며, 추가 가능한 추상 수진 체계에 대해, 단어의 S-자동성은 그 ℓ-경계 수열의 S-자동성으로 이어진다는 것을 증명한다. 또한 슈르미언 단어의 ℓ-경계 수열은 그 특성 슈르미언 단어로부터 슬라이딩 블록 코드를 통해 유도되며, 다른 특성 슈르미언 단어에 대한 호모모르피즘의 상임을 보이고, 명시적인 복잡도 한계를 제시한다.

ABSTRACT

Generalizing the notion of the boundary sequence introduced by Chen and Wen, the $n$th term of the $\ell$-boundary sequence of an infinite word is the finite set of pairs $(u,v)$ of prefixes and suffixes of length $\ell$ appearing in factors $uyv$ of length $n+\ell$ ($n\ge \ell\ge 1$). Otherwise stated, for increasing values of $n$, one looks for all pairs of factors of length $\ell$ separated by $n-\ell$ symbols. For the large class of addable abstract numeration systems $S$, we show that if an infinite word is $S$-automatic, then the same holds for its $\ell$-boundary sequence. In particular, they are both morphic (or generated by an HD0L system). To precise the limits of this result, we discuss examples of non-addable numeration systems and $S$-automatic words for which the boundary sequence is nevertheless $S$-automatic and conversely, $S$-automatic words with a boundary sequence that is not $S$-automatic. In the second part of the paper, we study the $\ell$-boundary sequence of a Sturmian word. We show that it is obtained through a sliding block code from the characteristic Sturmian word of the same slope. We also show that it is the image under a morphism of some other characteristic Sturmian word.

연구 동기 및 목표

• 형태어적 단어의 ℓ-경계 수열이 형태어적 또는 S-자동성이 되는 조건을 규명하는 것.
• 특히 슈르미언 단어에 대한 ℓ-경계 수열의 구조와 성질을 조사하는 것.
• 비추가 가능한 수진 체계와 반례를 분석하여 일반 결과의 한계를 명확히 하는 것.
• 슬라이딩 블록 코드 및 호모모르피즘과 같은 알려진 조합론적 구조와 경계 수열 간의 관계를 설정하는 것.
• 슈르미언 단어의 1-경계 수열에 대한 명시적인 요소 복잡도 공식을 유도하는 것.

제안 방법

• 첸과 웬의 경계 수열을 일반화하여, 논문은 길이 n+ℓ의 인자의 길이-ℓ 접두사와 접미사 쌍 (u,v)의 집합으로서 ℓ-경계 수열을 정의한다.
• 추가 가능한 추상 수진 체계의 개념을 도입하고, 이러한 체계에서 S-자동성이 ℓ-경계 수열 생성 과정 동안 유지됨을 증명한다.
• 슈르미언 단어에 대해, 특성 슈르미언 단어에서 슬라이딩 블록 코드를 구성하여 ℓ-경계 수열을 생성한다.
• 논문은 ℓ-경계 수열이 다른 특성 슈르미언 단어에 대한 호모모르피즘의 상임을 보이며, 기호 동역학과 구간 교환 변환을 사용한다.
• 토러스 위의 회전과 구간 분할을 포함한 기하학적 및 동역학 시스템 기법을 사용하여 경계 쌍의 구조를 분석한다.
• 슬라이딩 블록 코드의 역상 구조를 분석하고 단어의 접두사에 대한 귀납법을 적용하여 1-경계 수열의 요소 복잡도를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 S-자동성 단어의 ℓ-경계 수열이 언제 다시 S-자동성이 되는가?
• RQ2 슈르미언 단어의 ℓ-경계 수열은 그 특성 슈르미언 단어로부터 슬라이딩 블록 코드를 통해 생성될 수 있는가?
• RQ3 슈르미언 단어의 ℓ-경계 수열은 다른 특성 슈르미언 단어에 대한 호모모르피즘의 상인가?
• RQ4 슈르미언 단어의 1-경계 수열의 요소 복잡도는 무엇이며, 이는 단어에 나타나는 (01)r의 최대 거듭제곱 r에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 비추가 가능한 수진 체계에서 S-자동성이 유지되지 않는 예시가 있는가, 또는 원래 단어가 S-자동성임에도 경계 수열이 S-자동성이 되지 않는 경우가 있는가?

주요 결과

• 추가 가능한 추상 수진 체계에서는, 무한 단어가 S-자동성이라면 그 ℓ-경계 수열 역시 S-자동성이며, 따라서 형태어적임이 보장된다.
• 슈르미언 단어의 ℓ-경계 수열은 동일한 기울기를 가진 그 특성 슈르미언 단어로부터 슬라이딩 블록 코드를 통해 유도된다.
• 슈르미언 단어의 ℓ-경계 수열은 다른 특성 슈르미언 단어에 대한 호모모르피즘의 상이다.
• 슈르미언 단어 s의 1-경계 수열의 요소 복잡도는 n ↦ n+1 (n < 2r일 때) 및 n+2 (그 외일 때)이며, 여기서 r은 s에 나타나는 (01)r의 최대 정수이다.
• 모든 ℓ ≥ 1에 대해 경계 수열은 비정현적임이 증명되었으며, 슬라이딩 블록 코드에서의 서로 다른 역상 존재를 통해 이를 보였다.
• 피보나치 단어의 ∂f,2 경계 수열에는 문자 a가 유일하게 한 번만 나타나며, 나머지 모든 문자는 무한히 반복된다.