[논문 리뷰] On Extension of Ginzburg-Jiang-Soudry Correspondence to Certain Automorphic Forms on $Sp_{4mn}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{4mn \pm 2n}(\BA)$

Baiying Liu|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 24.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자동형 상승 맵의 조합을 통해 Ginzburg-Jiang-Soudry 대응을 $\mathrm{Sp}_{4n}(\mathbb{A})$에서 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$로 확장하며, 글로벌 아르테르 파라미터와 푸리에 계수 간의 관계에 대한 추측을 확인한다. 일부 잔류 표현이 기하급수적으로 기저 표현으로 내림내림되며, 더 높은 질량의 심플렉틱 군에 대한 새로운 대응을 수립한다.

ABSTRACT

Let $F$ be a number field, and $\BA=\BA_F$. In this paper, first, we provide a family of global Arthur parameters confirming all parts of a general conjecture on the relation between the structure of Fourier coefficients and the structure of global Arthur parameters, given by Jiang in 2012. Then we extend a correspondence between certain automorphic forms on $Sp_{4n}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{2n}(\BA)$, given by Ginzburg, Jiang and Soudry in 2012, to certain automorphic forms on $Sp_{4mn}(\BA)$ and $\wt{Sp}_{4mn \pm 2n}(\BA)$, using the same idea of considering compositions of automorphic descent maps.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $\mathrm{Sp}_{4n}(\mathbb{A})$에서의 Ginzburg-Jiang-Soudry 대응을 더 높은 질량의 심플렉틱 군인 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$와 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$로 확장한다.
• Jiang(2012)의 추측을 확인한다. 이 추측은 글로벌 아르테르 파라미터와 자동형 표현의 최대 푸리에 계수의 구조 간의 연관성을 제기한다.
• 특정 잔류 표현이 $\mathrm{Sp}_{4mn+4n}(\mathbb{A})$에서 자동형 상승을 통해 기하급수적으로 기저 표현으로 내림내림됨을 증명한다.
• 자기형 상승 맵의 조합이 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$와 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$의 자동형 형식 간의 명시적 대응을 이끌어내는지를 보여준다.

제안 방법

• 잔류 아이자이스터리안 시리즈 $\mathrm{Sp}_{4mn+4n}(\mathbb{A})$에서 자동형 상승 맵의 조합을 사용하여 고질량 심플렉틱 군 위의 표현을 구성한다.
• $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1}$ 상승 맵을 잔류 표현 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)}$에 적용하여 기하급수적 기저 표현을 얻는다.
• $\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}$라는 잔류 표현에 $\mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^{-1}}$ 상승 맵을 적용하여 원래 표현 $\pi$를 복원한다.
• 잔류 표현 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)}$과 $\widetilde{\mathcal{E}}_{\Delta(\tau,m-1),\widetilde{\pi}}$의 기하급수성에 기반하여 상승 맵의 조합이 비영이 되고 등호가 성립함을 보장한다.
• $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}} \circ \mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^1}(\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}) = \pi$라는 항등식을 이용하여 대응의 정합성을 검증한다.
• 포물형 부분군에서 유도된 아이자이스터리안 시리즈를 분석하여 극점과 잔류 표현을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Ginzburg-Jiang-Soudry 대응은 $\mathrm{Sp}_{4n}(\mathbb{A})$에서 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$와 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn\pm 2n}(\mathbb{A})$로 확장될 수 있는가?
• RQ2 글로벌 아르테르 파라미터의 구조는 기하급수적 기저 표현에 속하는 자동형 표현의 최대 푸리에 계수와 연결될 수 있는가?
• RQ3 중간 단계로 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn+2n}(\mathbb{A})$를 거쳐 $\mathrm{Sp}_{4mn+4n}(\mathbb{A})$에서 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$로의 자동형 상승 맵의 조합이 비영이 되고 기하급수적인가?
• RQ4 잔류 표현이 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn+2n}(\mathbb{A})$에 존재할 때, 상승 과정을 통해 원래 표현 $\pi$를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1} \circ \mathcal{D}^{4mn+4n}_{2n,\psi^{-1}}(\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m+1)})$의 조합은 기하급수적 기저 표현으로서 비영이면서 기하급수적인 표현을 생성한다.
• $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}}$ 상승 맵을 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)}$에 적용하면, 기하급수적 기저 표현인 $\pi$를 얻으며, 이는 기하급수적 기저 표현이면서 기하급수적 스펙트럼에 속한다.
• $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^{-1}} \circ \mathcal{D}^{4mn+2n}_{2n,\psi^1}(\widetilde{\mathcal{E}}_{\tau,\pi}) = \pi$라는 항등식은 $\mathrm{Sp}_{4mn}(\mathbb{A})$와 $\widetilde{\mathrm{Sp}}_{4mn+2n}(\mathbb{A})$의 표현 간의 역대응을 확인한다.
• $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m-1)}$가 기하급수적이라는 가정 하에 $\widetilde{\mathcal{E}}_{\Delta(\tau,m-1),\widetilde{\pi}}$의 기하급수성이 입증되어, 상승 과정을 통해 $\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m-1)}$를 복원할 수 있다.
• 상승 과정을 통해 $\mathcal{D}^{4mn}_{2n,\psi^1}(\mathcal{E}_{\Delta(\tau,m)})$가 기하급수적이고 기하급수적 기저 표현임을 확인함으로써, 더 높은 질량 군에 대한 대응이 검증된다.