[논문 리뷰] On Extensions of Maximal Repeats in Compressed Strings

Julian Pape-Lange|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최대 반복과 그 오른쪽 연장의 조합 분석을 통해 문자열 $ S $ 의 런-길이 버러스-위레르 변환(RLBWT)에 대한 새로운 상한을 제시한다. 이는 $ 73(\log_2 |S|)(z + 2)^2 $ 런을 제공하며, 최대 쌍과 RLBWT 사이의 새로운 연결고리를 설정함으로써, 최근 켐파와 코쿠미아카에 의해 해결된 버러스-위레르 추측에 대한 대체 증명을 제공한다.

ABSTRACT

This paper provides upper bounds for several subsets of maximal repeats and maximal pairs in compressed strings and also presents a formerly unknown relationship between maximal pairs and the run-length Burrows-Wheeler transform. This relationship is used to obtain a different proof for the Burrows-Wheeler conjecture which has recently been proven by Kempa and Kociumaka in "Resolution of the Burrows-Wheeler Transform Conjecture". More formally, this paper proves that the run-length Burrows-Wheeler transform of a string S with z_S LZ77-factors has at most 73(log₂ |S|)(z_S+2)² runs, and if S does not contain q-th powers, the number of arcs in the compacted directed acyclic word graph of S is bounded from above by 18q(1+log_q |S|)(z_S+2)².

연구 동기 및 목표

• 압축된 문자열에서 최대 반복과 그 오른쪽 연장의 조합적 구조를 분석하기 위해.
• LZ77 요소 기반으로 RLBWT의 런 수에 대한 더 날카운 상한을 확립하기 위해.
• 최대 쌍과 RLBWT 사이의 새로운 관계를 규명하여 버러스-위레르 추측에 대한 다른 증명을 가능하게 하기 위해.
• 매우 주기적인 구조가 RLBWT와 CDAWG에서 압축 가능성에 미치는 영향을 이해하기 위해 향상시키기 위해.

제안 방법

• 문자열의 반복성을 측정하기 위해 최대 반복과 그 오른쪽 연장을 분석한다.
• 과다 계산을 줄이기 위해 고주기적이거나 짧은 연장이 이루어진 최대 반복의 개념을 도입한다.
• 순환 회전의 사전순 정렬을 사용하여 버러스-위레르 변환의 성질을 통해 RLBWT 런의 상한을 유도한다.
• 주기성 추론과 순환 순열 비교를 적용하여, 새로운 런에 기여하는 연장은 제한된 양임을 보여준다.
• 반복 연장의 조합적 추론을 통해 LZ77-요소와 문자열의 거듭제곱(q-승)의 구조를 활용하여 서로 다른 최대 쌍의 수를 상한한다.
• 반복 연장의 조합적 추론을 활용하여 RLBWT 런과 CDAWG 간선 수의 상한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LZ77 요소가 $ z $ 개인데 $ q $-승이 없는 문자열의 런-길이 버러스-위레르 변환에 최대 몇 개의 런이 존재할 수 있는가?
• RQ2 최대 쌍과 RLBWT의 런 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 최대 반복의 오른쪽 연장 수는 $ z $ 와 $ \log |S| $ 로 어떻게 상한을 정할 수 있는가?
• RQ4 매우 주기적인 구조는 RLBWT 런 수와 CDAWG 간선 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 최대 반복 연장의 개념을 사용하여 버러스-위레르 추측에 대한 새로운 증명을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• LZ77 요소가 $ z $ 개이고 $ q $-승이 없는 문자열 $ S $ 의 런-길이 버러스-위레르 변환에 포함된 런 수는 최대 $ 73(\log_2 |S|)(z + 2)^2 $ 개이다.
• 문자열 $ S $ 의 압축된 방향 무향 단어 그래프(CDAWG)의 간선 수는 $ 18q(1 + \log_q |S|)(z + 2)^2 $ 이하로 상한이 정해진다.
• RLBWT 런에 기여하는 데 중요한 역할을 하는 최대 반복의 부분집합은 고주기적이거나 주기 길이 이내로만 연장 가능한 반복들이다.
• 논문은 버러스-위레르 추측에 대한 대체 증명을 제공하며, $ r \in O((\log |S|)z^2) $ 라는 결과를 도출하여 켐파와 코쿠미아카의 결과와 일치함을 보였다.
• 각 최대 반복에 대해, 반복이 $ p^q $ 인 경우 그 두 개의 발생 중 적어도 하나는 $ |p| $ 개 이내로만 연장될 수 있음을 보여, 런 수 계산 시 과다 계산을 제한함을 입증하였다.
• 결과적으로, 최대 반복의 기반 축소를 기반으로 한 압축 데이터 구조는 $ O((\log |S|)z^2) $ 개의 간선을 달성할 수 있으며, CDAWG의 효율성에 가까워지면서도 더 뛰어난 압축성을 확보할 수 있음을 시사한다.