[논문 리뷰] On Extremal Index of max-stable stationary processes

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 최대안정(stationary) 확률과정의 극값 지수와 피카운드 유형 상수 사이의 직접적인 연관성을 설정하며, 기본 과정이 가우시안 또는 레비일 경우 이러한 상수에 대한 새로운 공식과 하한을 도출한다. 또한, 극값 지수의 정의가 과정의 지수화된 최대값의 정규화된 기대값의 극한에 의해 결정됨을 증명하며, 과정의 분산 구조에 따라 피카운드 상수 $\mathcal{H}_W^\delta$에 대한 명시적 하한을 제공한다.

ABSTRACT

In this contribution we discuss the relation between Pickands-type constants defined for certain Brown-Resnick stationary process $W(t),t\in R$ as $$\mathcal{H}_W^δ= \lim_{T o\infty} T^{-1} E{ \left(\sup_{t\in δZ \cap [0,T]} e^{W(t)} ight) },\ δ\ge 0$$ (set $0 Z=R$ if $δ=0$) and the extremal index of the associated max-stable stationary process $ξ_W$. We derive several new formulas and obtain lower bounds for $\mathcal{H}_W^δ$ if $W$ is a Gaussian or a Lévy process. As a by-product we show an interesting relation between Pickands constants and lower tail probabilities for fractional Brownian motions.

연구 동기 및 목표

• 최대안정(stationary) 과정 $\xi_W$의 극값 지수와 피카운드 유형 상수 $\mathcal{H}_W^\delta$ 간의 관계를 명확히 하기.
• 기본 과정 $W$가 가우시안 또는 레비 과정일 경우 $\mathcal{H}_W^\delta$에 대한 새로운 해석적 공식과 비자명한 하한을 도출하기.
• 피카운드 상수와 분수 차수 브라운 운동의 하측 꼬리 확률 간의 연결 고리를 부가적으로 규명하기.
• 기존의 브라운-레스니츠 경우를 초월하여 더 넓은 범주에 속하는 정상 과정에 대해 $\mathcal{H}_W^\delta$의 정의를 일반화하기.

제안 방법

• 지수 분포를 갖는 포아송 점 과정을 통해 최대안정 과정의 M3 표현을 이용하여 $\mathcal{H}_W^\delta$와 $\xi_W^\delta$의 극값 지수를 연결한다.
• 최대안정 과정 $\xi_W$의 정상성과 단위 프리셰트 극단 분포 성질을 활용하여 극한 표현식 $\mathcal{H}_W^\delta = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \mathbb{E}\left[\sup_{t\in\delta\mathbb{Z}\cap[0,T]} e^{W(t)}\right]$을 도출한다.
• 모멘트 생성 함수 기법과 증분의 독립성을 활용하여 레비 과정에 대해 $\mathbb{E}\left[e^{W(t)}\right]$와 $\mathbb{E}\left[e^{(W(k\delta) - W(0))/2}\right]$를 계산한다.
• 단조 수렴 정리와 척도 조정 기법을 사용하여 수열 $\delta_n = \eta l^{-n}$을 통해 극한 $\lim_{\delta\downarrow 0} \mathcal{H}_W^\delta$를 분석한다.
• 적분 추정과 지수 모멘트 계산을 통해 $\mathbb{P}(W(\delta k) + W(\delta l) > 2s)$를 포함하는 하한을 유도한다.
• 증분의 정상성과 케일러의 부등식을 활용하여 $\lambda = \frac{1}{2}\Phi(1) - \Phi(1/2) > 0$임을 보이며, 양의 하한을 구성할 수 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대안정 정상 과정의 극값 지수는 피카운드 유형 상수 $\mathcal{H}_W^\delta$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 기본 과정 $W$가 가우시안 또는 레비 과정일 경우 $\mathcal{H}_W^\delta$에 대한 명시적 하한은 무엇인가?
• RQ3 피카운드 상수는 분수 차수 브라운 운동의 하측 꼬리 확률과 관련이 있을 수 있는가?
• RQ4 $\delta \downarrow 0$일 때 $\mathcal{H}_W^\delta$의 행동은 어떠하며, 그 극한이 존재하는가?
• RQ5 M3 표현을 어떻게 활용하여 일반적인 정상 과정에 대해 $\mathcal{H}_W^\delta$의 새로운 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 최대안정 과정 $\xi_W^\delta(t) = \xi_W(\delta t)$의 극값 지수는 $\mathcal{H}_W^\delta$와 동일하며, 이는 두 양상 간의 직접적인 연결 고리를 확립한다.
• 레비 과정 $W$에 대해 피카운드 상수는 $\mathcal{H}_W^\delta \geq \frac{1}{\delta} \left(1 - \sum_{k=1}^\infty e^{-\delta k \lambda}\right)_+$ 를 만족하며, 여기서 $\lambda = \frac{1}{2}\Phi(1) - \Phi(1/2) > 0$이다.
• 더 강력한 하한이 도출된다: $\delta > 0$일 때 $\mathcal{H}_W^\delta \geq \frac{1}{\delta} \frac{1 - 2e^{-\delta\lambda}}{1 - e^{-\delta\lambda}}$.
• $\delta = 0$인 경우, 논문은 $\mathcal{H}_W^0 \geq \frac{\lambda}{4} > 0$임을 증명하며, 상수가 엄밀히 양수임을 보여준다.
• 극한 $\lim_{\delta \downarrow 0} \mathcal{H}_W^\delta$는 존재하며, 그 값은 $\overline{H}_W$와 같으며, 이는 $\frac{\lambda}{4}$ 이상으로 하한이 둔다.
• 의외의 연결 고리가 드러났다: 피카운드 상수는 분수 차수 브라운 운동 $B_H$의 하측 꼬리 확률 $\mathbb{P}(B_H(t) < x)$와 연결되어 있다.