[논문 리뷰] On extremal trees with respect to the $F$-index

Hosam Abdo, Darko Dimitrov외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 11.

Graph theory and applications참고 문헌 12인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 정점 차수의 세제곱의 합으로 정의된 위상 기술자인 忽略 지수(F-index)에 대해 극값을 가지는 트리들을 조사한다. 최대 차수에 제한이 있는 트리들 중에서 F-index를 최대화하는 트리들을 규명하여, 이러한 극값 트리들이 높은 차수를 가진 중심 정점과 여러 개의 잎 정점, 그리고 가능하면 몇몇 중간 차수의 정점으로 구성되어 있음을 보여주며, 총 정점 수와 최대 차수에 기반하여 각 차수를 가진 정점의 수에 대한 정확한 공식을 제시한다.

ABSTRACT

In a study on the structure--dependency of the total $π$-electron energy from 1972, Trinajstić and one of the present authors have shown that it depends on the sums $\sum_{v\in V}d(v)^2$ and $\sum_{v\in V}d(v)^3$, where $d(v)$ is the degree of a vertex $v$ of the underling molecular graph $G$. The first sum was later named {\it first Zagreb index} and over the years became one of the most investigated graph--based molecular structure descriptors. On the other hand, the second sum, except in very few works on the general first Zagreb index and the zeroth--order general Randić index, has been almost completely neglected. Recently, this second sum was named {\em forgotten index}, or shortly the $F$-{\em index}, and shown to have an exceptional applicative potential. In this paper we examine the trees extremal with respect to the $F$-index.

연구 동기 및 목표

• 최대 차수가 Δ 이하인 순서 n인 모든 트리들 중에서 F-index가 최대가 되는 트리를 식별하기 위해.
• 정점 차수에 대한 제약 조건을 고려하여 F-index에 관한 이전 결과를 확장하기 위해.
• 차수 제약 조건 하에서 F-index를 최대화하는 트리의 차수 순서열과 구조적 구성 요소를 정확히 규명하기 위해.
• 소규모 n에 대해 계산 도구(Sage와 MATLAB)를 사용하여 이론적 결과를 검증하기 위해.
• 차수 제약 조건 하에서 중심의 고차수 정점과 낱개의 잎 정점으로 이루어진 별 모양의 구조가 F-index를 최대화함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 정점 v의 차수 d(v)에 대해 $ F(G) = \sum_{v \in V(G)} d(v)^3 $로 F-index를 수식화한다.
• 그래프 이론적 변환 기법을 사용: 간선 $ uv $ 를 제거하고 $ xy $ 를 추가하여 F-index 값을 비교한다.
• 정수 선형 프로그래밍을 활용하여 차수 제약 조건 하에서 극값 차수 순서열을 모델링하고 해를 구한다.
• 소규모 n에 대해 극값 트리를 열거하고 검증하기 위해 계산 도구(Sage와 MATLAB)를 활용한다.
• 차수 분포와 간선의 다중성에 기반하여 F-index가 최대가 되는 데 필요한 구조적 조건을 유도한다.
• 모듈로 산술에 기반한 정확한 계수를 갖는 형식 $ [\Delta^{k}, \dots, 1^{m}] $ 의 차수 순서열을 도입하고 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n개의 정점과 최대 차수가 Δ 이하인 트리들 중에서 F-index가 최대가 되는 것은 무엇인가?
• RQ2 차수 제약 조건 하에서 F-index는 어떻게 행동하며, 어떤 구조적 특징이 이를 최대화하는가?
• RQ3 제한된 차수를 가진 트리에서 극값 F-index 값을 갖는 정확한 차수 순서열과 정점 수는 무엇인가?
• RQ4 F-index에 대한 결과들이 일반적인 첫 번째 제그레브 지수와 제로차수 랑디크 지수의 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 계산 도구를 사용하여 극값 F-index 트리를 체계적으로 생성하고 검증할 수 있는가?

주요 결과

• n개의 정점과 최대 차수 Δ를 가진 트리에서 F-index는 $ \left\lfloor \frac{n-2}{\Delta-1} \right\rfloor $ 개의 차수 Δ 정점과 나머지 정점들을 잎 정점으로 구성할 때 최대가 된다. 이때 $ (n-2) \mod (\Delta-1) \neq 0 $ 이면 중간 차수의 정점 하나가 추가로 포함될 수 있다.
• $ (n-2) \mod (\Delta-1) = 0 $ 이면 극값 트리는 정확히 $ \frac{n-2}{\Delta-1} $ 개의 차수 Δ 정점과 $ \frac{n(\Delta-2)+2}{\Delta-1} $ 개의 잎 정점을 가진다.
• $ (n-2) \mod (\Delta-1) \neq 0 $ 이면 극값 트리는 차수 $ x $ (여기서 $ 2 \leq x \leq \Delta-1 $) 를 가진 정점 하나, $ \frac{n-1-x}{\Delta-1} $ 개의 차수 Δ 정점, 그리고 $ \frac{(n-1)(\Delta-2)+x}{\Delta-1} $ 개의 잎 정점을 포함한다.
• Δ = 4와 Δ = 5인 순서 20 이하의 극값 트리에 대한 F-index 값은 Sage와 MATLAB를 모두 사용하여 계산하고 검증하였으며, 일관된 결과를 보였다.
• F-index는 중심의 고차수 정점이 가능한 한 많은 잎 정점과 연결된 별 모양의 구성에서 최대가 된다. 이때 차수 제약 조건과 정점 수 제약 조건을 만족시키기 위해 필요한 경우에만 중간 차수의 정점들이 추가로 포함된다.
• F-index는 n과 Δ에 따라 크게 증가하며, n=20, Δ=5일 때 값이 542에 이르는 것으로 확인되어 유도된 공식의 타당성을 입증하였다.