[논문 리뷰] On Extreme Value Processes and the Functional D-Norm

Stefan Aulbach, Michael Falk외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 26.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 [0,1]에서 연속적인 최대안정 과정의 분포 함수 G의 D-노름 표현을 사용하여 확률과정의 기능적 영역의 도달 프레임워크를 제안한다. 이는 고전적인 극단가치 이론을 일반화한다. 기능적 일반화된 페아르도 분포(GPD)가 상부 尾부에서 W = 1 + log(G)를 만족함을 입증하고, 다항수율을 갖는 δ-근접 영역을 통해 이러한 GPD로의 수렴을 특성화함으로써 다변량 극단가치 이론을 기능적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We introduce a functional domain of attraction approach for stochastic processes, which is more general than the usual one based on weak convergence. The distribution function G of a continuous max-stable process on [0,1] is introduced and it is shown that G can be represented via a norm on functional space, called D-norm. This is in complete accordance with the multivariate case and leads to the definition of functional generalized Pareto distributions (GPD) W. These satisfy W=1+log(G) in their upper tails, again in complete accordance with the uni- or multivariate case. Applying this framework to copula processes we derive characterizations of the domain of attraction condition for copula processes in terms of tail equivalence with a functional GPD. \delta-neighborhoods of a functional GPD are introduced and it is shown that these are characterized by a polynomial rate of convergence of functional extremes, which is well-known in the multivariate case.

연구 동기 및 목표

• 기능적 영역의 도달 접근법을 도입하여 다변량에서 기능적 설정으로 극단가치 이론을 확장하기.
• 기능적 노름인 D-노름을 사용하여 [0,1]에서 연속적인 최대안정 과정의 분포 함수 G를 정의하고 특성화하기.
• W = 1 + log(G)가 상부 尾부에서 성립하도록 기능적 일반화된 페아르도 분포(GPD)를 정의하고, 이는 다변량의 경우와 유사하게 유지하기.
• 코퓰라 과정이 기능적 GPD의 영역의 도달에 속하기 위한 조건을 尾부 등가성으로 유도하기.
• 기능적 GPD의 δ-근접 영역을 특성화하고, 이를 기능적 극단의 다항수율 수렴과 연결하기.

제안 방법

• 논문은 [0,1]에서 연속적인 최대안정 과정의 분포 함수 G를 표현하기 위해 기능적 공간 위의 D-노름을 정의한다.
• 기능적 일반화된 페아르도 분포(GPD) W를 도입하여 상부 尾부에서 W = 1 + log(G)를 만족시키며, 이는 단변량 및 다변량 극단가치 이론과의 일관성을 확보한다.
• 기능적 극단의 수렴 행동을 묘사하기 위해 기능적 GPD 주변의 δ-근접 영역을 활용한다.
• 기능적 GPD로의 수렴이 다변량의 경우와 유사하게 다항수율로 발생함을 입증한다.
• 꼬리 등가성을 사용하여 코퓰라 과정의 기능적 GPD의 영역의 도달을 특성화한다.
• 기능적 공간에서의 노름 기반 표현을 사용함으로써 고전적인 약한 수렴 기반의 영역의 도달을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기능적 노름을 사용하여 약한 수렴을 초월한 확률과정의 극단가치 이론을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 페아르도 분포(GPD)의 기능적 유사체는 무엇이며, W = 1 + log(G)를 통해 최대안정 과정과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 기능적 GPD의 δ-근접 영역은 어떻게 기능적 극단의 수렴 속도를 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 코퓰라 과정이 기능적 GPD의 영역의 도달에 속하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 G의 D-노름 표현은 어떻게 기능적 및 다변량 극단가치 프레임워크를 통합하는가?

주요 결과

• 연속적인 최대안정 과정의 분포 함수 G는 기능적 공간 위의 D-노름을 통해 표현될 수 있으며, 이는 극단가치 이론의 노름 기반 일반화를 제공한다.
• 기능적 일반화된 페아르도 분포(GPD)는 상부 尾부에서 W = 1 + log(G)를 만족하며, 고전적인 단변량 및 다변량 극단가치 프레임워크와의 일관성을 보장한다.
• 기능적 GPD의 δ-근접 영역는 기능적 극단의 수렴 속도가 다항수율로 특성화되며, 이는 기존의 다변량 결과를 기능적 설정으로 확장한다.
• 코퓰라 과정이 기능적 GPD의 영역의 도달에 속하기는 꼭 그들이 서로 꼬리 등가일 때에만 성립하며, 이는 실용적인 특성화를 제공한다.
• D-노름 기반의 기능적 영역의 도달 접근법은 고전적인 약한 수렴 기반 접근법보다 더 일반적이며, 확률과정의 극단에 대한 더 넓은 적용 가능성을 제공한다.
• 노름 기반 표현과 꼬리 등가성을 통해 이 프레임워크는 다변량 극단가치 이론의 이론적 구조를 기능적 과정으로 성공적으로 확장한다.