[논문 리뷰] On f-harmonic morphisms between Riemannian manifolds

Ye‐Lin Ou|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 다양체 사이의 사상인 $f$-조화형사상(f-harmonic morphisms)을 도입하고 특성화한다. 이러한 사상은 국소적 조화함수를 국소적 $f$-조화함수로 옮기는 사상이다. 이 논문은 이러한 사상이 정확히 수평적으로 약한 등각적인 $f$-조화함수 사상임을 증명하며, 조화형사상에 대한 Fuglede-Ishihara 정리의 일반화이자, 예시, 존재하지 않는 경우의 결과, 등각기하학 및 스핀계열과의 연결을 제시한다.

ABSTRACT

f-Harmonic maps were first introduced and studied by Lichnerowicz in \cite{Li} (see also Section 10.20 in Eells-Lemaire's report \cite{EL}). In this paper, we study a subclass of f-harmonic maps called f-harmonic morphisms which pull back local harmonic functions to local f-harmonic functions. We prove that a map between Riemannian manifolds is an f-harmonic morphism if and only if it is a horizontally weakly conformal f-harmonic map. This generalizes the well-known Fuglede-Ishihara characterization for harmonic morphisms. Some properties and many examples as well as some non-existence of f-harmonic morphisms are given. We also study the f-harmonicity of conformal immersions.

연구 동기 및 목표

• 리만 기하학에서 조화형사상의 일반화로 $f$-조화형사상의 정의와 연구를 수행한다.
• 수평적 약한 등각성과 $f$-조화성에 기반한 $f$-조화형사상의 특성화를 수립한다.
• 특히 컴act하고 대칭적인 다양체에서 이러한 사상의 존재성과 존재하지 않는 경우를 탐색한다.
• $f$-조화형사상과 비슷한 물리적 모델, 예를 들어 비균일한 하이젠베르크 페로자성체와의 연결을 시도한다.
• $f$-조화형사상과 $h$-조화형사상과 같은 유사 개념들 사이의 차이를 명확히 한다.

제안 방법

• 에너지 함수 $E_f(\phi) = \frac{1}{2}\int_\Omega f|d\phi|^2 dv_g$의 임계점으로서 $f$-조화함수를 정의한다.
• $f$-조화형사상은 국소적 조화함수를 국소적 $f$-조화함수로 옮기는 사상으로 정의한다.
• 사상이 $f$-조화형사상임과 동시에 수평적으로 약한 등각적이며 $f$-조화함수임이 서로 동치임을 증명하며, Fuglede-Ishihara 정리를 일반화한다.
• $f$-조화함수의 정의식으로 텐션장 방정식 $\tau_f(\phi) = f\tau(\phi) + d\phi(\text{grad}\,f) = 0$ 를 사용한다.
• 메트릭의 등각적 변화를 분석한다: $\phi:(M,g)\to(N,h)$가 $f$-조화함수임과 동시에 $\phi:(M,f^{2/(m-2)}g)\to(N,h)$가 조화함수임이 동치임을 보인다.
• 곡률 이론과 부분사상 이론을 적용하여, 특히 컴act하고 양의 곡률을 갖는 다양체, 예를 들어 $S^{2n+1}$에서 존재하지 않는 결과를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 다양체 사이의 매끄러운 사상 중에서 $f$-조화형사상은 무엇으로 특징지어지는가?
• RQ2 $f$-조화형사상은 조화형사상과 $p$-조화함수 사상과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 어떤 기하학적 조건에서 $f$-조화형사상이 존재하거나 존재하지 않는가?
• RQ4 비상수 함수 $f$를 갖는 $S^{2n+1}$과 같이 컴act이고 양의 곡률을 갖는 다양체에서 $f$-조화형사상이 존재할 수 있는가?
• RQ5 $f$-조화형사상의 물리적 및 기하학적 의미는 무엇이며, 특히 스핀계열과 등각기하학과의 관련성은 어떠한가?

주요 결과

• 수평적으로 약한 등각적인 $f$-조화함수 사상으로서 $f$-조화형사상이 특성화되며, 고전적인 Fuglede-Ishihara 정리를 일반화한다.
• 비임계점이 없는 $F$-조화함수 사상은 $f = F'(\frac{|d\phi|^2}{2})$를 갖는 $f$-조화함수 사상임이 증명되며, $F$-조화함수 사상과 $f$-조화함수 사상 간의 연결 고리를 제공한다.
• 다항식 사상 $\phi:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$은 $f$-조화형사상임과 동시에 조화형사상이면서 $f$의 수직 방향 기울기가 존재함이 동치이다.
• 최소한의 섬유를 갖는 컴act하고 비음수 곡률을 갖는 다양체에서, 리만 부분사상은 $f$가 상수일 때에만 $f$-조화형사상이 될 수 있다.
• $S^{2n+1}$에서 비상수 양함수 $f$가 존재하지 않으며, 히포프 필베이션(Hopf fibration)이 $f$-조화형사상이 되는 경우가 없다.
• 표준 메트릭을 갖는 $S^3$에서는 비상수 $f$와 영이 아닌 수평 곡률을 갖는 부분사상적 $f$-조화형사상이 존재하지 않으며, 이는 등각 변형의 논증으로 증명된다.