[논문 리뷰] On Factorizable S-matrices, Generalized TTbar, and the Hagedorn Transition

Giancarlo Camilo, Thiago Fleury외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 22.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 48인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 TTbar 연산자에 의해 변형된 적분가능한 2차원 양자장이론에 대한 열역학적 베티 안자수(TBA)를 연구하며, CDD 인자와 함께 인수분해 가능한 S행렬에 초점을 맞춘다. 의사-호소 길이 연속법(pseudo-arc-length continuation)을 사용하여 유한한 크기의 기저 상태 에너지 E(R)에 대해 두 개의 해 브랜치를 식별한다. R∗에서의 제곱근 분기점은 허가된 Hagedorn 유사 행동을 나타내며, 이는 표준 국소 양자장이론과 충돌하는 고에너지 상태의 지수적 증가를 암시한다. 이러한 행동은 일반적으로 끈 이론에서 나타나는 특성이다. 두 입자 산란 단계가 고에너지에서 느리게 증가하더라도 Hagedorn 전이가 유지됨을 보여주며, 이러한 행동은 단지 단계 성장 때문이 아니라 S행렬 변형의 구조에서 기인함을 시사한다.

ABSTRACT

We study solutions of the Thermodynamic Bethe Ansatz equations for relativistic theories defined by the factorizable $S$-matrix of an integrable QFT deformed by CDD factors. Such $S$-matrices appear under generalized TTbar deformations of integrable QFT by special irrelevant operators. The TBA equations, of course, determine the ground state energy $E(R)$ of the finite-size system, with the spatial coordinate compactified on a circle of circumference $R$. We limit attention to theories involving just one kind of stable particles, and consider deformations of the trivial (free fermion or boson) $S$-matrix by CDD factors with two elementary poles and regular high energy asymptotics -- the "2CDD model". We find that for all values of the parameters (positions of the CDD poles) the TBA equations exhibit two real solutions at $R$ greater than a certain parameter-dependent value $R_*$, which we refer to as the primary and secondary branches. The primary branch is identified with the standard iterative solution, while the secondary one is unstable against iterations and needs to be accessed through an alternative numerical method known as pseudo-arc-length continuation. The two branches merge at the "turning point" $R_*$ (a square-root branching point). The singularity signals a Hagedorn behavior of the density of high energy states of the deformed theories, a feature incompatible with the Wilsonian notion of a local QFT originating from a UV fixed point, but typical for string theories. This behavior of $E(R)$ is qualitatively the same as the one for standard TTbar deformations of local QFT.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 TTbar 변형 적분가능한 QFT의 UV 구조를 이해하고, Hagedorn 유사 행동의 기원을 밝히는 것.
• 두 개의 극점과 고에너지에서 정규적인 행동을 보이는 CDD 인자를 갖는 인수분해 가능한 S행렬에 대해 열역학적 베티 안자수(TBA) 방정식을 분석하는 것.
• TBA 방정식의 두 개의 별개 해 브랜치—특히 불안정한 보조 브랜치—를 식별하고 특성화하며, 전환점 R∗의 위치를 특정하는 것.
• Hagedorn 행동이 산란 단계의 고에너지에서 급격한 증가에 의존하는지, 아니면 S행렬의 구조적 특성에 기인하는지 판단하는 것.
• 두 입자 산란 단계가 유한한 고에너지 극한을 갖는 경우에도 Hagedorn 특이성이 유지되는지 입증함으로써, 이러한 단계 성장이 반드시 필요하다는 가정을 도전하는 것.

제안 방법

• 자유 페르미온/보스론 S행렬에 두 개의 극점과 고에너지에서 정상적인 행동을 갖는 CDD 인자를 도입한 2CDD 모델의 TBA 방정식을 해석한다.
• 유한한 크기의 기저 상태 에너지 E(R)에 대해 TBA 방정식의 주요 해 브랜치를 수치적으로 계산하기 위해 반복 방법을 사용한다. 여기서 R은 원형 공간의 둘레이다.
• 표준 반복 방법으로 접근할 수 없는 불안정한 보조 해 브랜치에 도달하기 위해 의사-호소 길이 연속법(PALC)을 적용한다.
• 유사역행렬(Inverse)의 맥락에서 야코비안의 무어-펜로즈(Quasi-)역행렬을 사용한 예측-수정 루틴과 함께, 전환점 R∗에서의 특이성을 다루기 위한 뉴턴 유사 반복법을 사용한다.
• 고정된 격자 간격 ∆θ와 복소 극점을 갖는 2CDD 커널 ϕ(θ)를 사용하여 이산화된 TBA 적분 방정식을 수치적으로 해석한다.
• E(R)의 큰 R 행동을 분석하고, 데이터를 피팅하여 Hagedorn 온도와 상태 밀도의 지수적 증가율을 추출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 TTbar 변형 QFT에서 Hagedorn 전이가 고에너지에서 두 입자 산란 단계의 급격한 증가를 요구하는가?
• RQ2 산란 단계가 고에너지에서 유한한 극한을 갖는 경우에도 E(R)의 유한한 크기 기저 상태 에너지에서 Hagedorn 특이성이 나타날 수 있는가?
• RQ3 불안정한 보조 TBA 해 브랜치가 Hagedorn 행동의 기원에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 의사-호소 길이 연속법이 어떻게 보조 TBA 브랜치에 도달할 수 있으며, 전환점 R∗의 의미는 무엇인가?
• RQ5 이러한 모델에서 Hagedorn 행동은 산란 단계의 구체적 형태와 무관하게 CDD 변형 적분가능한 QFT의 일반적인 특성인가?

주요 결과

• 2CDD 모델의 TBA 방정식은 R > R∗에서 실수 해 브랜치 두 개를 보이며, 안정적인 주요 브랜치와 불안정한 보조 브랜치로 나뉘며, 이 브랜치들이 제곱근 분기점 R∗에서 융합된다.
• 보조 브랜치는 표준 반복 TBA 방법으로는 접근할 수 없지만, 예측-수정 루틴과 야코비안의 무어-펜로즈 역행렬을 사용한 의사-호소 길이 연속법(PALC)을 통해 도달할 수 있다.
• R∗에서의 특이성은 고에너지 상태의 밀도에서 Hagedorn 유사 행동을 나타내며, 상태 수의 지수적 증가를 암시한다. 이는 표준 국소 QFT와 충돌하지만, 일반적으로 끈 이론에서 나타나는 특성이다.
• 산란 단계가 고에너지에서 유한한 극한을 갖는 페르미온 및 보스론 2CDD 모델에서도 Hagedorn 특이성이 유지됨을 보여주며, 이러한 단계 성장이 Hagedorn 행동의 필수 조건이 아니라는 것을 입증한다.
• 두 브랜치에서의 큰 R 행동은 Hagedorn 온도 T_H를 포함하는 유일한 형태를 따르며, 상태 밀도의 지수적 증가율은 Hagedorn 전이와 일관된다.
• 2CDD 모델의 좁은 공진 상태 근사에서 표준 TTbar 변형이 복원되며, 이는 기존 결과와의 일致를 확인하고 수치적 프레임워크의 타당성을 검증한다.