[논문 리뷰] On feedback classification of control-affine systems with one and two-dimensional inputs

Andrei Agrachev, Igor Zelenko|ArXiv.org|2005. 02. 01.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상태 피드백 동치에 대해 n차원 다양체 위의 일반적인 제어-아핀 시스템(스칼라 입력의 경우 n ≥ 4, 두 입력의 경우 n = 4,5)에 대한 완전한 국소 분류를 제공한다. Poincaré 급수를 통한 캐논컬 프레임과 피드백 불변량을 도입함으로써, 분류 문제를 변수 수가 다른 함수 모듈러스로 환원하며, C^∞ 및 C^ω 범주에서 명시적인 매개변수화와 내재된 모듈러스 수를 제공한다.

ABSTRACT

The paper is devoted to the local classification of generic control-affine systems on an n-dimensional manifold with scalar input for any n>3 or with two inputs for n=4 and n=5, up to state-feedback transformations, preserving the affine structure. First using the Poincare series of moduli numbers we introduce the intrinsic numbers of functional moduli of each prescribed number of variables on which a classification problem depends. In order to classify affine systems with scalar input we associate with such a system the canonical frame by normalizing some structural functions in a commutative relation of the vector fields, which define our control system. Then, using this canonical frame, we introduce the canonical coordinates and find a complete system of state-feedback invariants of the system. It also gives automatically the micro-local (i.e. local in state-input space) classification of the generic non-affine n-dimensional control system with scalar input for n>2. Further we show how the problem of feedback-equivalence of affine systems with two-dimensional input in state space of dimensions 4 and 5 can be reduced to the same problem for affine systems with scalar input. In order to make this reduction we distinguish the subsystem of our control system, consisting of the directions of all extremals in dimension 4 and all abnormal extremals in dimension 5 of the time optimal problem, defined by the original control system. In each classification problem under consideration we find the intrinsic numbers of functional moduli of each prescribed number of variables according to its Poincare series.

연구 동기 및 목표

• n ≥ 4인 스칼라 입력에 대해 일반적인 제어-아phin 시스템의 완전한 국소 분류를 상태 피드백 동치에 대해 수립한다.
• Poincaré 급수를 통한 기능적 모듈러스의 내재된 수를 도입하여, 분류가 변수 수가 다른 함수에 의존하는 방식을 정량화한다.
• 커mutator 관계에서의 구조 함수 정규화를 통해 스칼라 입력 시스템에 대한 캐논컬 프레임과 피드백-불변 구조를 개발한다.
• 시간 최적화 및 비정상 극값을 식별하여, 차원 4와 5에서 두 입력 문제를 스칼라 입력 문제로 환원한다.
• 각 변수 수에 대한 기능적 불변량의 수와 무게를 명시적으로 나열함으로써 분류 문제의 특징 매개변수화를 제공한다.

제안 방법

• 제어 시스템을 정의하는 벡터장의 커mutator 항등식에서 구조 함수를 정규화하여 캐논컬 프레임을 구성한다.
• 캐논컬 프레임을 사용하여 캐논컬 좌표를 정의하고, 상태 피드백 불변량의 완전한 체계를 추출한다.
• 분류 문제에서 각 정해진 변수 수에 대해 기능적 모듈러스의 내재된 수를 계산하기 위해 Poincaré 급수를 사용한다.
• n=4 및 n=5에서 두 입력 문제를 시간 최적화 극값(4차원) 및 비정상 극값(5차원)의 하위계를 분리함으로써 스칼라 입력 문제로 환원한다.
• 원래 시스템을 피드백 동치에 대해 유일하게 복원할 수 있는 복원 불변량 R을 도입한다. 이는 다섯 변수의 피드백 불변량이다.
• 매개변수화 행렬 P의 정규화를 적용하여 특성 행렬 C = Norm(P)를 유도함으로써, 무게와 변수 수에 따라 기능적 불변량의 특성 매개변수화를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n ≥ 4인 n차원 다변수에서의 일반적인 스칼라 입력 제어-아핀 시스템에 대한 완전한 상태 피드백 불변량 집합은 무엇인가?
• RQ2 차원 4와 5에서 두 입력 시스템의 분류 문제는 어떻게 스칼라 입력 문제로 환원될 수 있는가?
• RQ3 Poincaré 급수에 의해 코딩된, 분류 문제에서 각 정해진 변수 수에 대한 기능적 모듈러스의 내재된 수는 무엇인가?
• RQ4 분류 문제의 특성 매개변수화는 무엇이며, 기능적 불변량은 무게와 변수 수에 따라 어떻게 분포되어 있는가?
• RQ5 복원 불변량 R은 분류의 환원과 불변량으로부터 시스템을 어떻게 유일하게 복원하는가?

주요 결과

• 두 입력을 가진 일반적인 실해석적 5차원 제어-아phin 시스템의 분류는 5개 변수의 4개의 점근적 함수, 4개 변수의 10개, 3개 변수의 10개, 2개 변수의 5개의 점근적 함수에 더해 복원 불변량 R으로 매개변수화된다.
• 분류 문제의 Poincaré 급수는 M(t) = 1/(1−t)^6 + t^3(5/(1−t)^3 + 10/(1−t)^4 + 10/(1−t)^5 + 3/(1−t)^6)이다.
• 특성 행렬 C = Norm(P)는 [[1,3,6,5],[0,0,0,16],[0,0,0,13],[0,0,0,4]]로 주어지며, 무게와 변수 수에 따라 불변량의 수를 인코딩한다.
• n ≥ 5인 일반적인 스칼라 입력 시스템의 분류는 국소적이고, C^ω 범주에서 미분 1형식의 분류와 동치이다.
• 특성 매개변수화에는 5개 변수의 불변량 4개(무게 0), 4개 변수의 13개(무게 3), 3개 변수의 16개(무게 3), 2개 변수의 불변량 1개(무게 0)가 포함되며, 각각 무게 1, 2, 3에서 2개 변수의 불변량 3개, 6개, 5개가 있다.
• 시스템은 그 환원과 복원 불변량 R로부터 유일하게 복원 가능하며, 이는 다섯 변수의 무게 0 피드백 불변량이다.