[논문 리뷰] On Fenchel-Nielsen coordinates on Teichmüller spaces of surfaces of infinite type

Daniele Alessandrini, Lixin Liu외 3명|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 04.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 21인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 표준적인 유한형 도구가 실패하는 표면의 무한형 타입에 대해 Fenchel-Nielsen 좌표를 도입하기 위해, Nielsen-凸성에 의해 위상적 패aires of pants 분해가 기하적으로 실현될 수 있는 조건을 설정함으로써, 무한형 표면의 Teichmüller 공간에 대해 Fenchel-Nielsen 좌표를 제안한다. Fenchel-Nielsen Teichmüller 공간을 정의하고, 그것과 쿼시콘フォ르멀 Teichmüller 공간을 비교하여, 유계 조건 하에서 두 공간 간의 항등사상이 위상동형임을 보이며, 주요 결과로 거리의 등가성과 위상적 성질을 규명한다.

ABSTRACT

We introduce Fenchel-Nielsen coordinates on Teicmüller spaces of surfaces of infinite type. The definition is relative to a given pair of pants decomposition of the surface. We start by establishing conditions under which any pair of pants decomposition on a hyperbolic surface of infinite type can be turned into a geometric decomposition, that is, a decomposition into hyperbolic pairs of pants. This is expressed in terms of a condition we introduce and which we call Nielsen convexity. This condition is related to Nielsen cores of Fuchsian groups. We use this to define the Fenchel-Nielsen Teichmüller space associated to a geometric pair of pants decomposition. We study a metric on such a Teichmüller space, and we compare it to the quasiconformal Teichmüller space, equipped with the Teichmüller metric. We study conditions under which there is an equality between these Teichmüller spaces and we study topological and metric properties of the identity map when this map exists.

연구 동기 및 목표

• 유한형 도구가 실패하는 무한형 타입 표면의 Teichmüller 공간에 Fenchel-Nielsen 좌표를 확장하기 위해.
• Nielsen-凸성에 의해 이러한 표면에 대한 표준적인 하이퍼볼릭 메트릭을 정의하여, 모든 위상적 패aires of pants 분해가 기하적 분해로 등기될 수 있도록 보장하기 위해.
• 고정된 기하적 패aires of pants 분해를 기반으로 한 Fenchel-Nielsen Teichmüller 공간을 구성하고, 그 거리적 및 위상적 구조를 연구하기 위해.
• Fenchel-Nielsen Teichmüller 공간과 쿼시콘포르멀 Teichmüller 공간을 비교하고, 그 사이의 항등사상을 분석하기 위해.
• 두 Teichmüller 공간이 일치하는 조건을 규명하고, 항등사상의 연속성과 유계성을 연구하기 위해.

제안 방법

• Nielsen-凸성의 개념을 도입하여, 하이퍼볼릭 표면에서 모든 위상적 패aires of pants 분해가 기하적 분해로 등기 가능하도록 보장하는 조건을 제공한다.
• Nielsen-凸성이 일반화된 하이퍼볼릭 패aires of pants를 붙임으로써 기하적 패aires of pants 분해의 존재와 동치임을 증명한다.
• 고정된 기하적 패aires of pants 분해에 대해 유계 길이 및 비틀림 매개변수를 갖는 표준화된 하이퍼볼릭 구조의 공간으로서 Fenchel-Nielsen Teichmüller 공간 $\mathcal{T}_{FN}$ 을 정의한다.
• 공식 $ d_{FN}(x,y) = \sup_{i} \max\left( \left| \log \frac{l_x(C_i)}{l_y(C_i)} \right|, \, |l_x(C_i)\theta_x(C_i) - l_y(C_i)\theta_y(C_i)| \right) $ 를 통해 Fenchel-Nielsen 메트릭을 정의하여 길이 및 비틀림 변화를 캡처한다.
• 쿼시콘포르멀 사상과 쿼시콘포르멀 변형률을 사용하여 Fenchel-Nielsen 및 쿼시콘포르멀 Teichmüller 공간을 비교한다.
• 상한 유계 조건이 거리의 등가성에 필수적임을 보여주는 반례를 구성하고, 어떤 분해에 대해서도 상한 유계가 되지 않는 표면이 존재할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한형 표면에서 위상적 패aires of pants 분해가 기하적 분해로 등기될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Nielsen-凸성은 기하적 패aires of pants 분해의 존재와 이러한 표면에 대한 표준 하이퍼볼릭 메트릭과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 Fenchel-Nielsen Teichmüller 공간 $\mathcal{T}_{FN}$ 이 쿼시콘포르멀 Teichmüller 공간 $\mathcal{T}_{qc}$ 와 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 항등사상 $\mathcal{T}_{FN}$ 과 $\mathcal{T}_{qc}$ 사이의 위상적 및 거리적 성질은 무엇이며, 특히 유계 조건 하에서 어떻게 되는가?
• RQ5 어떤 하이퍼볼릭 표면이 무한형이지만, 어떤 패aires of pants 분해에 대해서도 상한 유계가 되지 않을 수 있는가?

주요 결과

• Nielsen-凸성은 기하적 패aires of pants 분해의 존재와 동치이다: 모든 위상적 분해가 일반화된 하이퍼볼릭 패aires of pants로 등기 가능하다.
• 기준점 $H_0$ 가 길이 및 비틀림 매개변수에 대해 상한 조건을 만족할 경우, Fenchel-Nielsen Teichmüller 공간 $\mathcal{T}_{FN}(H_0)$ 는 잘 정의되어 있다.
• 기준점 $H_0$ 가 선택된 패aires of pants 분해에 대해 상한 유계일 때에만, $\mathcal{T}_{FN}(H_0)$ 에서 $\mathcal{T}_{qc}(H_0)$ 로의 항등사상은 위상동형이다.
• Fenchel-Nielsen 메트릭은 길이나 비틀림의 절대 차이를 사용하는 다른 메트릭과 등가가 아니며, 반례를 통해 $d_{FN} \to \infty$ 이지만 다른 거리가 $\to 0$ 이 되는 경우를 보여준다.
• 이전의 구성에서 유도된 비완전한 표면을 통해, 어떤 패aires of pants 분해에 대해서도 상한 유계가 되지 않는 무한형 하이퍼볼릭 표면이 존재함을 보여준다.
• Fenchel-Nielsen 메트릭은 길이 및 비틀림 변화를 동시에 제어할 때 수렴을 보장하는 방식으로 캡처하며, 절대 차이에 기반한 단순한 메트릭과 달리 그 성질을 갖는다.