[논문 리뷰] On Fields With Only Finitely Many Maximal Subrings

Alborz Azarang|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 16.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 최대부분환만을 가지는 체를 완전히 특성화하며, 그것들이 최대부분환을 가지지 않는 유일한 부분체를 포함하는 유한 차수의 절대 대수적 체임을 증명한다. 핵심 결과는 유한한 최대부분환, 최대부분환의 유한한 체인, 그리고 최대부분환을 가지지 않는 부분체 위에서의 유한 차수 확대 사이의 동치성을 확립한다.

ABSTRACT

Fields with only finitely many maximal subrings are completely determined. We show that such fields are certain absolutely algebraic fields and give some characterization of them. In particular, we show that the following conditions are equivalent for a field $E$: 1. $E$ has only finitely many maximal subrings. 2. $E$ has a subfield $F$ which has no maximal subrings and $[E:F]$ is finite. 3. Every descending chain $\cdots\subset R_2\subset R_1\subset R_0=E$ where each $R_i$ is a maximal subring of $R_{i-1}$, $i\geq 1$, is finite. Moreover, if one of the above equivalent conditions holds, then $F$ is unique and contains all subfields of $E$ which have no maximal subrings. Furthermore, all chains in $(3)$ have the same length, $m$ say, and $R_m=F$, where $m$ is the sum of all powers of primes in the factorization of $[E:F]$ into prime numbers.\\ We also determine when certain affine rings have only finitely many maximal subrings. In particular, we prove that if $R=F[α_1,\ldots,α_n]$ is an affine integral domain over a field $F$, then $R$ has only finitely many maximal subrings if and only if $F$ has only finitely many maximal subrings and each $α_i$ is algebraic over $F$, which is similar to the celebrated Zariski's Lemma. Finally, we show that if $R$ is an uncountable PID then $R$ has at least $|R|$-many maximal subrings.

연구 동기 및 목표

• 유한한 최대부분환만을 가지는 체를 완전히 분류하는 것.
• 체의 확대에서 최대부분환의 수가 유한해지기 위한 구조적 조건을 규명하는 것.
• 체 위의 아핀 정수환에서 최대부분환의 수가 유한해지는 조건을 특성화하는 것.
• 기저 체와 확대의 대수적 구조와 최대부분환의 수 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 세 조건 간의 동치성을 확립: (1) 유한한 최대부분환, (2) 최대부분환을 가지지 않는 부분체 위에서의 유한 차수 확대, (3) 최대부분환의 유한한 체인.
• 정수 확대에서 최대부분환의 구조와 절대 대수적 체의 성질을 이용.
• 아핀 다항식과 그 최대부분환을 분석하기 위해 자르스키의 보조정리와 아르틴-테이트 정리를 적용.
• PID에서 기약 원소와 단위원을 통한 체인 구성 기법을 활용하여 최대부분환의 수에 대한 하한을 도출.
• 기약성과 대수적 독립성의 논증을 사용하여, 기껏해야 비가산 PID는 반드시 |R|개 이상의 최대부분환을 가져야 함을 보임.
• 만약 환에서 기약 단위원이 무한히 많다면, 그 환은 무한한 내림차순 최대부분환 체인을 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 체가 최대부분환을 유한하게만 가지는가?
• RQ2 체의 확대에서 더 큰 체가 최대부분환을 유한하게 가지기 위한 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ3 어떤 조건에서 체 위의 아핀 정수환은 최대부분환을 유한하게 가지는가?
• RQ4 최대부분환의 수는 기저 체와 확대의 대수적 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 비가산 PID에서 최대부분환의 무한한 내림차순 체인을 구성할 수 있으며, 이는 최대부분환의 수에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 체 $ E $가 최대부분환을 유한하게만 가지는 것은, $ E $가 최대부분환을 가지지 않는 부분체 $ F $의 유한 차수 확대일 때이고, 그때에만 성립한다.
• 부분체 $ F $는 유일하며, $ E $의 최대부분환을 가지지 않는 모든 부분체를 포함한다.
• 모든 최대부분환의 체인은 동일한 유한한 길이 $ m $을 가지며, $ R_m = F $이다. 여기서 $ m $은 $ [E:F] $의 소인수 분해에서의 거듭제곱의 합이다.
• 아핀 정수환 $ R = F[eta_1, eta_2, \newline\beta_n] $이 최대부분환을 유한하게 가지는 것은, $ F $가 최대부분환을 유한하게 가지며, 각 $ \beta_i $가 $ F $ 위에서 대수적일 때에만 성립한다. 이는 자르스키의 보조정리와 유사하다.
• 비가산 PID $ R $는 최소 $ |R| $개 이상의 최대부분환을 가지며, 이러한 환은 무한한 내림차순 최대부분환 체인을 가진다.
• 만약 체 $ K $가 최대부분환을 유한하게 가지면, $ \beta^2 = 0 $인 $ T = K[\beta] $는 $ 1 + |RgMax(K)| $개의 최대부분환을 가진다.