[논문 리뷰] On financial applications of the two-parameter Poisson-Dirichlet distribution

Sergey Sosnovskiy|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 08.

Bayesian Methods and Mixture Models참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주식시장의 자본 분포 곡선에 대해 두 파라미터를 가진 포isson-디리클레(PD(α,θ)) 분포를 확률적-조합론적 모델로 제안한다. 시장이 투자된 자본의 무작위 분할로 간주될 때, 무한차원적 구조와 관련된 확산 과정을 통해 랭크된 시장 가중치의 안정적이고 파워 라이크 형태를 PD(α,θ) 분포가 묘사한다. 실증적 데이터 피팅 결과, 주요 글로벌 거래소와 S&P 500의 하락 기간 동안 강력한 일치를 보였다.

ABSTRACT

Capital distribution curve is defined as log-log plot of normalized stock capitalizations ranked in descending order. The curve displays remarkable stability over periods of time. Theory of exchangeable distributions on set partitions, developed for purposes of mathematical genetics and recently applied in non-parametric Bayesian statistics, provides probabilistic-combinatorial approach for analysis and modeling of the capital distribution curve. Framework of the two-parameter Poisson-Dirichlet distribution contains rich set of methods and tools, including infinite-dimensional diffusion process. The purpose of this note is to introduce framework of exchangeable distributions on partitions in the financial context. In particular, it is shown that averaged samples from the Poisson-Dirichlet distribution provide approximation to the capital distribution curves in equity markets. This suggests that the two-parameter model can be employed for modelling evolution of market weights and prices fluctuating in stochastic equilibrium.

연구 동기 및 목표

• 확률 이론에서 유도된 분할 구조를 금융 모델링, 특히 주식시장 역학에 도입하기 위해.
• 기존 모델인 MPT와 CAPM이 설명하지 못하는 시간과 시장 간에 안정적인 자본 분포 곡선의 경험적 관측을 다루기 위해.
• 두 파라미터를 가진 포isson-디리클레 분포가 확률적 평형 상태에서 랭크된 시장 가중치의 자연스러운 정적 분포로 기능할 수 있음을 제안하기 위해.
• 실증적으로 PD(α,θ) 분포가 여러 글로벌 주식 거래소의 관측된 자본 분포 곡선에 통계적으로 탄탄한 피팅을 제공함을 보여주기 위해.
• 시장 가중치의 확률적 진동이 PD(α,θ) 분포를 평형 측도로 유지하는 확산 과정을 통해 모델링할 수 있음을 제안하기 위해.

제안 방법

• 주식시장를 투자된 자본의 무작위 분할로 모델링하며, 주식의 시가총액은 분할에서의 블록 크기로 대응시킨다.
• 두 파라미터를 가진 포isson-디리클레 분포(PD(α,θ))를 무한단순체에서 랭크된 시장 가중치의 극한 분포로 적용한다.
• 크기 기반 표본 추출을 사용한 스틱 브레이킹 구성법을 통해 PD(α,θ) 분포에서 표본을 생성하고 실증적 비교를 수행한다.
• 수준 간 일관된 상행/하향 전이를 갖는 분할에 대한 마코프 체인을 적용하여, PD(α,θ)가 유일한 정적 분포로 유지되는 가역적 확산 과정을 이끌어낸다.
• 최소 제곱 추정을 사용하여 관측된 자본 분포 곡선에 PD(α,θ) 모델을 피팅하고 최적의 파라미터 α와 θ를 결정한다.
• 프레임워크를 확장하여 S&P 500의 정규화된 일일 하락률을 모델링하며, PD(α,θ)가 상대 하락률의 실증 분포에 잘 맞는다는 것을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 파라미터를 가진 포isson-디리클레 분포가 다양한 주식시장과 시간 간격에서 관측된 자본 분포 곡선의 안정성을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 랭크된 시장 가중치의 로그-로그 플롯에서 관찰되는 시간적 안정성을 설명하는 근본적인 확률적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ3 PD(α,θ) 분포가 주요 글로벌 주식 거래소의 실제 랭크된 시가총액 데이터에 얼마나 잘 피팅되는가?
• RQ4 PD(α,θ) 분포는 주요 지수의 상대 하락률 분포와 같은 다른 금융 현상도 모델링할 수 있는가?
• RQ5 PD(α,θ) 분포를 유지하는 확률적 과정이 존재하는가? 만약 그렇다면, 이 과정은 시장 가중치의 확률적 평형 상태에서의 진동을 모델링하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 두 파라미터를 가진 포isson-디리클레 분포는 뉴욕증권거래소(NYSE), 나스닥, 일본, EURONEXT, 홍콩 등 주요 주식 거래소의 자본 분포 곡선에 강력한 실증적 피팅을 제공한다. 2014년 11월 기준 글로벌 거래소의 최적 파라미터는 (α=0.44, θ=18)이다.
• S&P 500의 상대 시장 가중치 분포에 대해도 모델이 잘 맞으며, θ=80과 α=0.24의 파라미터로 1950년부터 2014년까지의 정규화된 일일 하락률에 대해 좋은 피팅을 보였다.
• PD(α,θ) 분포가 주식시장의 기본 분할 구조의 정적 분포를 근사함을 뒷받침하는 가설이 입증되었다.
• 프레임워크는 랭크된 시장 가중치의 확률적 진동이 PD(α,θ) 분포를 평형 측도로 유지하는 확산 과정을 통해 모델링될 수 있음을 시사한다.
• 모델은 특히 무한차원적 성질과 분할 수준 간 일관성에 기반한 교환 가능 분할 구조의 조합론적 및 확률적 성질을 통해 자본 분포 곡선의 안정성을 설명한다.
• 크기 기반 표본 추출을 사용한 스틱 브레이킹 구성법은 PD(α,θ) 분포에서 표본을 추출하는 데 효율적인 방법을 제공하며, 실증 데이터와의 구현 및 비교를 가능하게 한다.