[논문 리뷰] On finiteness properties of polynomial functors

Aurélien Djament|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 소형 대칭 모나드 카테고리에 초기 단위를 가진 카테고리에서 아벨 카테고리로의 다항 함자 카테고리의 유한성 성질—특히 노에터성, 크룰 차원, 그리고 유한 표현의 변형—을 조사한다. 자유 아벨군의 카테고리에서 분할 단사 사상이 있는 카테고리로의 약한 다항 함자 카테고리가 '거의' 국소 노에터성임을 증명하며, 자유군의 자기동형사상과 관련된 함자들에 대한 핵심 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We study finiteness properties, especially the noetherian property, the Krull dimension and a variation of finite presentation, in categories of polynomial functors from a small symmetric monoidal category whose unit is an initial object to an abelian category (notion introduced in this general setting in the work http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00851869 joint with C. Vespa). We give also an application to functors related to automorphisms of free groups.

연구 동기 및 목표

• 소형 대칭 모나드 카테고리에 초기 단위를 가진 카테고리에서 아벨 카테고리로의 다항 함자 카테고리의 유한성 성질—노에터성, 크룰 차원, 유한 표현의 변형—을 분석하는 것.
• 유한 집합과 단사 사상으로 구성된 FI-모듈에 알려진 노에터성 결과를 더 복잡한 카테고리, 예를 들어 자유 아벨군과 분할 단사 사상의 카테고리로 확장하는 것.
• Z^n의 경우 표준 다항 함자가 노에터성이 되지 못하는 문제를 해결하기 위해 '거의 노에터성' 조건을 도입함으로써 강도를 낮춘 조건을 제안하는 것.
• 합동부군의 호모로지와 자유군의 IA-자기동형사상과 관련된 함자들에 결과를 적용하는 것.
• 이동 함자들이 유한 생성 함자에서 유한 생성성을 유지하지 못하는 비안정성 문제를 다루기 위해 몰입 카테고리와 단층 함자의 유도 함자를 포함한 기술적 도구를 개발하는 것.

제안 방법

• 강한 다항 함자의 부분함수가 안정적이지 않기 때문에, 몰입 카테고리에서의 이미지가 다항 함자인 함자들로 정의되는 '약한 다항 함자'의 개념을 도입함으로써 이 문제를 해결한다.
• 약한 다항 함자의 연구를 더 다룰 수 있는 설정에서 다항 함자의 연구로의 환원을 위해 몰입 카테고리 구조를 사용한다.
• 다항 함자의 차수에 대한 재귀적이고 중첩된 귀납법을 적용하며, 히르미트 카테고리에서 다항 함자의 구조에 관한 [9]의 결과를 활용한다.
• 핵심 기술적 도구로, 몰입 카테고리에서 원래 카테고리로의 단층 함자가 존재하고, 그 호모로지 성질이 제어 가능하다는 점을 활용한다.
• 이동 함자가 유한 생성성을 유지하지 못하는 문제를 해결하기 위해, 유한 지지도를 가진 함자의 개념을 사용한다.
• 그로텐디크 카테고리와 국소 노에터성 카테고리의 결과를 활용하여 약한 다항 함자 카테고리의 구조적 성질을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 단위를 가진 대칭 모나드 카테고리에서 아벨 카테고리로의 약한 다항 함자 카테고리가 국소 노에터성일 조건은 무엇인가?
• RQ2 자유 아벨군과 분할 단사 사상의 카테고리에서 아벨 카테고리로의 약한 다항 함자 카테고리가 국소 노에터성이 아니게 되는 이유는 무엇이며, 어떤 더 약한 유한성 성질을 만족하는가?
• RQ3 프로젝티브 객체가 유한형이 아닌 카테고리, 예를 들어 자유 아벨군과 분할 단사 사상의 카테고리에 대해 다항 함자 이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 몰입 카테고리 구성이 다항 함자의 유한성 성질을 안정화시키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 자유군의 자기동형사상 군의 호모로지가 유한 생성 약한 다항 함자를 통해 연구될 수 있으며, 어떤 유한성 제약 조건이 발생하는가?

주요 결과

• 유한 링 A에 대해, S(A)에서 국소 노에터성 그로텐디크 카테고리로의 약한 다항 함자 카테고리는 국소 노에터성이다.
• A = Z일 경우, S(Z)에서 국소 노에터성 그로텐디크 카테고리로의 약한 다항 함자 카테고리는 '거의' 국소 노에터성이다. 즉, 거의 노에터성 함자들에 의해 생성된다.
• 함자 F: S(Z) → A가 어떤 n에 대해 랭크 ≥ n인 자유 아벨군의 전체 부분카테고리로의 제약이 노에터성이라면, F는 거의 노에터성이다.
• 약한 다항 함자 카테고리 S(Z) → Ab는 국소 노에터성이 아니다. 그 이유는 n ≥ 2일 때 Z[GL_n(Z)]가 노에터적이지 않기 때문이다.
• F(V) = V* ⊗ V ⊗ V이고 A(V) = V일 때, F → A의 전사 사상의 핵은 차수 3의 완전한 다항 함자이며, 단층 함자 η의 이미지에 속하는 함자의 확장으로 구성되지 않아, 확장에 의한 포화가 모든 완전한 다항 함자를 포괄하지 못함을 보여준다.
• 몰입 카테고리에서 원래 카테고리로의 단층 함자의 유도 함자들은 중요한 호모로지 성질을 만족하며, 이는 거의 노에터성 결과를 증명하는 데 필수적이다.