[논문 리뷰] On Fixed-point theorems in Intuitionistic Fuzzy metric Space I

T. K. Samanta, Sumit Mohinta|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 15.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 타이포-의심적-수축 매핑(TS-IF contractive mapping)이 인tuitionistic 퍼지 메트릭 공간(IFMS)에서 유일한 고정점을 가지는 데 필요한 두 가지 조건 집합을 확립하며, [(\varepsilon,\lambda)]-IF-균일 국소적으로 수축성 매핑과 η-연결 가능한 공간의 개념을 도입하여 이러한 매핑이 고정점을 가짐을 증명한다. 주요 기여는 수렴 수열이 사전에 Cauchy임을 가정하지 않고도 IFMS에서 엄밀한 고정점 정리가 성립하도록 하는 것으로, t-노름과 t-코노름을 사용하여 가까움과 가까워지지 않음을 정의함으로써 이루어진다.

ABSTRACT

In this paper, first we have established two sets of sufficient conditions for a TS-IF contractive mapping to have unique fixed point in a intuitionistic fuzzy metric space. Then we have defined \,$(\,ε\,,\, λ\,)$\, IF-uniformly locally contractive mapping and \,$η\,-$\,chainable space, where it has been proved that the \,$(\,ε\,,\, λ\,)$\, IF-uniformly locally contractive mapping possesses a fixed point

연구 동기 및 목표

• 인Tuitionistic 퍼지 메트릭 공간(IFMS)에서 TS-IF 수축 매핑에 대해 고정점이 존재하는 충분조건을 확립하는 것.
• IFMS에서 [(\varepsilon,\lambda)]-IF-균일 국소적으로 수축성 매핑과 η-연결 가능한 공간의 개념을 정의하고 분석하는 것.
• 수축 수열이 Cauchy임을 사전 가정하지 않고도 이러한 매핑이 고정점을 가짐을 증명하는 것.
• 더 자연스러운 수축 정의를 사용하여 인Tuitionistic 퍼지 메트릭 공간에서 바나흐 고정점 정리를 일반화하는 것.

제안 방법

• t-노름과 t-코노름을 사용하여 점들 간의 가까움($\mu$)과 가까워지지 않음($\nu$) 정도를 모델링하는 TS-IF 수축 매핑을 정의한다.
• 연속적인 t-노름 $\ast$와 t-코노름 $\diamond$를 사용하여 IFMS에서 메트릭 유사 행동을 보장하는 공리들을 만족시킨다.
• 반복 수열 $\{T^n x\}$을 수립하고, $j < k$, $t > 0$, 그리고 어떤 $\varepsilon \in (0,1)$에 대해 $\mu(T^j x, T^k x, t) > \varepsilon$ 및 $\nu(T^j x, T^k x, t) < 1 - \varepsilon$임을 보여 수열이 Cauchy임을 증명한다.
• 연속성과 IFMS의 완비성 덕분에 $\mu$와 $\nu$의 $t$-변수에 대한 연속성을 이용해 수열 $\{T^n x\}$이 극한 $\xi$로 수렴함을 증명한다.
• $T$가 $t$-균일 연속임을 보여, $T\xi = \lim T^{n+1}x = \xi$이므로 $\xi$가 고정점임을 증명한다.
• $\eta$-연결 가능한 공간과 &lsqb;(\varepsilon,\lambda)&rsqb;-IF-균일 국소적으로 수축성 매핑을 도입하여 이러한 조건 하에서 고정점이 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타이포-의심적-수축 매핑이 인Tuitionistic 퍼지 메트릭 공간에서 유일한 고정점을 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이전 연구에서 수축 수열이 Cauchy임을 가정하는 것과 달리, 고정점 정리를 수축 수열이 Cauchy임을 가정하지 않고도 확립할 수 있는가?
• RQ3 $\eta$-연결 가능한 공간의 역할은 인Tuitionistic 퍼지 메트릭 공간에서 국소적으로 수축성 매핑에 대해 고정점 존재성을 보장하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 t-노름과 t-코노름의 성질은 인Tuitionistic 퍼지 메트릭 공간에서 반복 수열의 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 &lsqb;(\varepsilon,\lambda)&rsqb;-IF-균일 국소적으로 수축성 매핑의 개념을 사용하여 바나흐 고정점 정리를 인Tuitionistic 퍼지 메트릭 공간에서 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 반복 수열 $\{T^n x\}$이 사전에 Cauchy임을 가정하지 않고도, $t > 0$ 및 $j < k$에 대해 $\mu(T^j x, T^k x, t) > \varepsilon$ 및 $\nu(T^j x, T^k x, t) < 1 - \varepsilon$임을 보여 인Tuitionistic 퍼지 메트릭 공간에서 Cauchy임을 증명한다. 여기서 $\varepsilon \in (0,1)$이다.
• 완비 IFMS에서 $\mu$와 $\nu$의 $t$-변수에 대한 연속성과 공간의 완비성 덕분에 수열 $\{T^n x\}$이 극한 $\xi$로 수렴한다.
• 매핑 $T$가 $t$-균일 연속임을 보여, 극한 $\xi$가 $T\xi = \xi$를 만족함을 증명하여 $\xi$가 고정점임을 증명한다.
• $\eta$-연결 가능한 공간에서 &lsqb;(\varepsilon,\lambda)&rsqb;-IF-균일 국소적으로 수축성 매핑에 대해 반복 수열의 수렴을 통해 고정점 존재성이 입증된다.
• 이전 접근 방식과 달리, 수축 수열이 Cauchy임을 가정하지 않고도 직접적으로 $\mu$와 $\nu$의 t-노름 및 t-코노름에 기반한 구조를 사용하여 Cauchy 성질을 증명함으로써 이 가정을 피한다.
• 주어진 조건 하에서 고정점은 유일하며, 반복적 구성 과정이 시작점 $x$에 관계없이 동일한 극한으로 수렴하기 때문이다.