[논문 리뷰] On Foundation of the Generalized Nambu Mechanics (Second Version)

Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|2008. 01. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 n ≥ 3 개의 관측량에 대해 고차원의 파울리 괄호에 대한 일반화된 남부 역학의 기초 프레임워크를 수립한다. 남부 괄호는 파울리 괄호의 고차원 일반화이며, 남부-해밀턴 운동 방정식을 수립하고, 기본 항등식을 일관성 조건으로 증명하며, 파울리 다각형보다 더 강한 구조적 강성을 보이는 남부-파울리 다양체를 도입한다. 또한 고리 역학을 포함하는 작용 원리와 양자화 접근법을 개발한다.

ABSTRACT

We outline basic principles of canonical formalism for the Nambu mechanics—a generalization of Hamiltonian mechanics proposed by Yoichiro Nambu in 1973. It is based on the notion of Nambu bracket, which generalizes the Poisson bracket— a “binary” operation on classical observables on the phase space, to the “multiple” operation of higher order n ≥ 3. Nambu dynamics is described by the phase flow given by Nambu-Hamilton equations of motion—a system of ODE’s which involves n − 1 “Hamiltonians”. We introduce the fundamental identity for the Nambu bracket—a generalization of the Jacobi identity, as a consistency condition for the dynamics. We show that Nambu bracket structure defines an hierarchy of infinite families of “subordinated” structures of lower order, including Poisson bracket structure, which satisfy certain matching conditions. The notion of Nambu bracket enables to define Nambu-Poisson manifolds—phase spaces for the Nambu mechanics, which turn out to be more ‘rigid” than Poisson manifolds—phase spaces for the Hamiltonian mechanics. We introduce the analog of the action form and the action principle for the Nambu mechanics. In its formulation dynamics of loops (n −2-dimensional chains for the general n-ary case) naturally appears. We discuss several approaches to the quantization of

연구 동기 및 목표

• 이중 파울리 괄호를 초월하여 해밀턴 역학의 일반화로서 남부 역학의 캐논ical 구조를 형식화하는 것.
• 남부 괄호의 닫힘을 보장하는 일관성 조건으로서 기본 항등식을 식별하는 것.
• 일치 조건 하에서 남부 괄호의 구조가 파울리 괄호를 포함한 무한한 계층의 하위 구조를 생성함을 보여주는 것.
• 남부-파울리 다양체를 남부 역학의 위상공간으로 정의하고, 파울리 다양체와 비교하여 기하학적 강성을 분석하는 것.
• 점입자 작용을 확장하여 (n−2)-차원의 고리(체인)의 역학을 포함하는 남부 역학의 작용 원리를 개발하는 것.

제안 방법

• 남부 괄호를 고차원의 다중선형, 반대칭적인 n항 연산으로 도입하여 고전적 관측량에 대해 일반화된 파울리 괄호를 정의한다.
• n−1 개의 해밀토니안을 포함하는 남부-해밀턴 운동 방정식을 유도하여 위상공간의 흐름을 기술하는 ODE 시스템을 형성한다.
• 남부 괄호의 기본 항등식을 일관성 조건으로 확립하여 자코비 항등식의 일반화로 간주한다.
• 남부 괄호가 파울리 괄호를 포함한 하위 구조의 계층을 유도하며, 일치 조건을 만족함을 보여준다.
• 남부 괄호를 갖춘 매끄러운 다양체로서 남부-파울리 다양체를 정의하며, 파울리 다양체보다 더 강한 기하학적 제약 조건을 갖는다.
• 남부 역학에 대해 작용 형식과 작용 원리의 유사체를 제안하며, 역학이 자연스럽게 (n−2)-차원의 고리 형태의 체인을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n ≥ 3 인 경우 남부 괄호를 파울리 괄호의 고차원 일반화로 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 남부 역학의 일관성을 보장하는 대수적 항등식은 무엇이며, 자코비 항등식은 어떻게 일반화되는가?
• RQ3 남부-파울리 다양체는 기하학적으로 파울리 다양체와 어떻게 다를까? 어떤 제약 조건을 부과하는가?
• RQ4 남부 괄호는 파울리 괄호를 포함한 하위 구조의 계층을 어떻게 생성하는가?
• RQ5 남부 역학에 대해 변분 원리를 어떻게 수립할 수 있으며, (n−2)-차원의 고리가 이 수립에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 남부 괄호는 자코비 항등식을 일반화한 기본 항등식을 만족하며, 남부-해밀턴 운동 방정식의 일관성을 보장한다.
• 남부 괄호의 구조는 특정 일치 조건 하에 파울리 괄호를 포함한 무한한 계층의 호환 가능한 하위 구조를 생성한다.
• n-항 괄호에 의해 유도되는 더 강한 제약 조건으로 인해 남부-파울리 다양체는 파울리 다양체보다 기하학적으로 더 강한 강성을 보인다.
• 남부 역학의 작용 원리는 자연스럽게 (n−2)-차원의 고리 형태의 체인의 역학을 포함하며, 고전적 작용 원리를 확장한 것이다.
• 이 프레임워크는 남부 역학의 양자화를 위한 기초를 제공하지만, 논문은 양자화 프로그램의 완성까지는 진행하지 않는다.