[논문 리뷰] On full history recursive multilevel Picard approximations and numerical approximations for high-dimensional nonlinear parabolic partial differential equations and high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations

E Weinan, Martin Hutzenthaler외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 12.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고차원 비선형 포아송 PDE 및 BSDE에 대한 전체 이력 재귀 다수준 피카르(FHRMLP) 근사법을 제안하며, 다수준 몬테카를로와 피카르 고정점 반복을 결합한다. 계산 비용이 차원에 대해 선형으로, 정밀도의 역수에 대해 4차적으로 증가함을 증명하여, 임의의 $ \delta > 0 $ 에 대해 $ O(d\epsilon^{-(4+\delta)}) $ 복잡도를 달성하며, 100차원 문제에서 수치적 검증을 수행한다.

ABSTRACT

Parabolic partial differential equations (PDEs) and backward stochastic differential equations (BSDEs) are key ingredients in a number of models in physics and financial engineering. In particular, parabolic PDEs and BSDEs are fundamental tools in the state-of-the-art pricing and hedging of financial derivatives. The PDEs and BSDEs appearing in such applications are often high-dimensional and nonlinear. Since explicit solutions of such PDEs and BSDEs are typically not available, it is a very active topic of research to solve such PDEs and BSDEs approximately. In this paper we introduce a family of new approximation methods for high-dimensional PDEs and BSDEs. A key idea of our methods is to combine multilevel approximations with Picard fixed-point approximations. Thereby we obtain a class of full history recursive multilevel Picard approximations. Our error analysis proves for one of the proposed approximation methods that if $\epsilon\in(0,\infty)$ is the prescribed approximation accuracy and if $d\in\mathbb{N}$ is the dimension of the considered PDE, then for every $\delta \in (0,\infty)$ it holds that the computational effort of the approximation method (number of function evaluations of the coefficient functions of the considered PDE and number of used independent scalar standard normal random variables) is at most $O(d\,\epsilon^{-(4+\delta)})$, that is, the computational effort grows only linearly in the dimension and up to an arbitrarily small order quartically in the reciprocal of the prescribed approximation accuracy. We illustrate the efficiency of one of the proposed approximation methods by means of numerical simulations presenting approximation accuracy against runtime for several nonlinear PDEs from physics (such as the Allen-Cahn equation) and financial engineering (such as derivative pricing incorporating default risks) in the case of $d=100$ space dimensions.

연구 동기 및 목표

• 금융공학 및 물리학에서 발생하는 고차원 비선형 포화 PDE 및 BSDE를 해결하는 데 도전하는 문제를 다루기.
• 이러한 방정식의 수치 근사에서 차원의 저주를 극복하기.
• 이전 반복의 전체 이력을 재귀적으로 사용하는 새로운 다수준 피카르 근사법의 클래스를 개발하기.
• 계산 비용이 차원에 대해 선형으로, 정밀도의 역수에 대해 다항식적으로 증가함을 보여주는 엄밀한 오차 한계를 수립하기.
• 앨런-클란 방정식 및 디폴트 리스크 가격 설정과 같은 실제 응용 방정식의 100차원 설정에서의 수치 시뮬레이션을 통해 방법의 효율성을 입증하기.

제안 방법

• 고차원 PDE 및 BSDE에 대한 전체 이력 재귀 다수준 피카르(FHRMLP) 근사법의 가족을 제안한다.
• 분산을 줄이고 수렴을 향상시키기 위해 다수준 몬테카를로 기법과 피카르 반복을 통합한다.
• 모든 이전 반복의 재귀적 의존성을 사용하여 수준 간 근사 정확도를 향상시킨다.
• 경로 기반 및 기대값 기반 공식화를 통해 결정론적 PDE 및 확률적 BSDE에 모두 적용한다.
• 각 수준이 독립적인 난수 표본을 사용하여 이전 수준을 개선하는 근사의 계층을 구성한다.
• 함수 평가 횟수와 사용된 표준 정규 난수의 수를 세어 계산 복잡도를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수준 피카르 방법을 전체 이력 재귀로 확장하여 고차원 PDE에서 수렴을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 차원과 정밀도에 관해 전체 이력 재귀 다수준 피카르 근사의 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ3 물리 및 금융 분야의 고차원 비선형 PDE에서 이 방법의 수치적 성능은 어떠한가?
• RQ4 이 방법은 차원에 대해 선형으로, 정밀도의 역수에 대해 다항식적으로 증가하는 계산 비용을 달성하는가?
• RQ5 이 방법은 앨런-클란 및 디폴트 리스크 모델과 같은 실제 응용 방정식의 비선형성과 고차원성을 처리할 수 있는가?

주요 결과

• 한 FHRMLP 방법의 계산 비용은 임의의 $ \delta > 0 $ 에 대해 $ O(d\epsilon^{-(4+\delta)}) $ 이하로 유한함을 증명하여, 차원에 대해 선형 스케일링과 거의 4차 스케일링을 입증한다.
• 이 방법은 100차원 사례를 포함한 고차원 문제에서 정확도를 유지하면서도 이 복잡도를 달성한다.
• 수치 시뮬레이션은 방법의 효율성을 확인하여, 100차원 비선형 PDE에서 정밀도와 런타임 간의 유리한 트레이드오프를 보여준다.
• 이 방법은 금융공학에서의 디폴트 리스크가 포함된 앨런-클란 방정식 및 비선형 PDE를 성공적으로 처리한다.
• 오차 분석은 고차원 및 비선형 설정에서의 강건성을 확인하며, 차원에 대해 지수적 의존성이 없음을 보여준다.
• 100차원 시뮬레이션에서 정밀도 대 런타임 곡선을 통해, 방법이 표준 접근법보다 확장성 면에서 뛰어나다는 것이 입증된다.